شيفي

في الهندسة، الشيڤي (بالإنجليزية: Cevian)‏ أو قاطع المثلث هو خطٌ يمر برأس مثلث، ويقطع الجانب المقابل لذلك الرأس.[1][2] تُعدُّ المتوسطات ومنصفات الزوايا من الشيڤيّات. يُسمى الشيڤي نسبةً إلى عالم الرياضيات الإيطالي جيوفاني شيفا، الذي أثبت مبرهنة معروفة عن الشيڤيات والتي تحمل اسمه أيضًا.[3]

الطول

مثلث بطول سيفيان د

نظرية ستيوارت

يمكن تحديد طول قاطع المثلث من خلال مبرهنة ستيوارت: في الرسم الآتي ، يُحسب طول الشيڤي d عبر الصيغة:

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

المتوسط

إذا كان القاطع متوسطًا (وبالتالي منصفاً لضلعٍ ، فيمكن تحديد طوله من الصيغة

${\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

أو

${\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

ولأنّ

${\displaystyle \,a=2m.}$

فإنّ

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.}$

زاوية منصف

إذا كان القاطع منصف زاوية ، فإن طوله يخضع للصيغة

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

و [4]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

و

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$

حيث مقياس نصف القطر s = (a+b+c)/2 .

ضلع الطول a مقسوم بالنسبة b:c .

ارتفاع

إذا تصادف أن يكون القاطع ارتفاعًا وبهذا عمودياً على جانب، فإن طوله يخضع للصيغة

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

و

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

حيث يكون مقياس نصف القطر s = ( a + b + c ) / 2.

الشاطر

شاطر المثلث هو قاطع ينصف المحيط . تتلاقى شواطر المثلث الثلاثة عند نقطة ناجل في المثلث.

انظر أيضاً

• هندسة نقطة الكتلة
• نظرية مينيلوس

ملحوظات

1. Coxeter، H. S. M.؛ Greitzer، S. L. (1967). Geometry Revisited. Washington, DC: اتحاد الرياضيات الأمريكي. ص. 4. ISBN:0-883-85619-0.
2. Some authors exclude the other two sides of the triangle, see Eves (1963)
3. Lightner، James E. (1975). "A new look at the 'centers' of a triangle". مجلس معلمي الرياضيات الوطني. ج. 68 ع. 7: 612–615. JSTOR:27960289.
4. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.

مراجع

• Eves، Howard (1963)، A Survey of Geometry (Vol. One)، Allyn and Bacon
• Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
• Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24 (02), pp. 29–37.