حد ديديكايند

حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هو زوج (A,B) من أجزاء S حيث : {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B.[1]

يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديدكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية غير الجذرية. سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند.[بحاجة لمصدر]

التعريف

لتكن S مجموعة مرتبة كليا، و A و B جزئين من S.${\displaystyle A\subset S}$ و${\displaystyle B\subset S}$

نقول أن المزدوجة (A,B) حد لديديكايند إذا كان:

1. ${\displaystyle A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset }$
2. ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$
3. ${\displaystyle A\cup B=S}$
4. ${\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,x<y}$
5. ${\displaystyle A}$ لا تحتوي على أكبر عنصر.

الخاصيات 1 إلى 3 تفيد بأن {A,B} تجزئة ل S. مما يعني أن تحديد أحد الجزئين A أو B يكفي لتحديد الحد. إلا أننا نحتفظ بالجزئين معا ونرمز للحد بالزوج (A,B).

كما يمكن أن نعوض الخاصية 4 ب:

*A مغلق دنويا: ${\displaystyle \forall a\in A,\forall x\in E,(x\leq a\Rightarrow x\in A)}$ 
*و B مغلق علويا: ${\displaystyle \forall b\in B,\forall y\in E,(y\geq b\Rightarrow y\in B)}$.

للحصول على تعريف مكافئ.

مقارنة حدين لديديكايند

لتكن S مجموعة مرتبة كليا. (A,B) و(X,Y) حدين لديديكايند. نعرف علاقة ترتيب> على ${\displaystyle D}$ مجموعة حدود ديديكايند ل S بما يلي :

${\displaystyle (A,B)<(X,Y)\Leftrightarrow A\subset X}$.

نبين أن ${\displaystyle (D,<)}$ تكون مجموعة مرتبة كليا باستعمال هذا الترتيب. كما أن خاصية الكابر الأصغر محققة على ${\displaystyle (D,<)}$ (أي أن كل جزء مكبور يقبل كابرا دنويا).

يشكل ${\displaystyle D}$ امتدادا ل S بمعنى ان كل عنصر x من S يقابله عنصر من ${\displaystyle D}$ عبر التطبيق التبايني و«التشاكلي» (أي الذي يحافظ على علاقة الترتيب>) :

${\displaystyle x:->(\{a\in S|a<x\},\{b\in S|x\leq b\})}$

ملاحظة
الخاصية 5 في التعريف تبين أن ${\displaystyle (\{a\in S|a\leq x\},\{b\in S|x<b\})}$ ليست حدا لديديكايند.

بذلك نرى أن حدود ديديكايند تمكن من تمديد مجموعة مرتبة كليا إلى مجموعة مرتبة كليا تحقق خاصية الكابر الأصغر.

مراجع

1. Continuity and Irrational Numbers, Section IV نسخة محفوظة 5 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.

انظر أيضا

• متتالية كوشي