تربيع غاوسي

  ميّز عن تكامل غاوسي.

مقارنة بين التربيع الغاوسي ثنائي النقاط والتربيع شبه المنحرفي. المنحنى الأزرق هو كثير الحدود معادلته ${\textstyle y(x)=7x^{3}-8x^{2}-3x+3}$ ، التي تكاملها في [−1, 1] يساوي ^2⁄₃. تُرجع قاعدة شبه المنحرف تكامل الخط البرتقالي المتقطع، مساوٍ لـ ${\textstyle y(-1)+y(1)=-10}$. تُرجع قاعدة التربيع الغاوسية المكونة من نقطتين تكامل المنحنى الأسود المتقطع، مساوٍ لـ ${\textstyle y\left(-{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)+y\left({\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)={\frac {2}{3}}}$. هذه النتيجة دقيقة، حيث أن المنطقة الخضراء لها نفس مساحة مجموع المناطق الحمراء.

في التحليل العددي، تعد قاعدة التربيع[1] [2][3]تقريبًا للتكامل المحدد للدالة، وعادة ما يتم ذكرها مجموعا مرجحا لقيم الدالة عند نقاط محددة داخل مجال التكامل. قاعدة التربيع الغاوسي المتعدد النقاط (n نقطة)، المسماة باسم كارل فريدريش غاوس،[4] هي قاعدة تربيعية[5] أُنشأت لتحقيق نتيجة دقيقة لكثيرة الحدود من الدرجة 2n − 1 أو أقل من خلال اختيار مناسب للعقد x_i والأوزان w_i لـ i = 1،…، n. طوِّرت الصيغة الحديثة باستخدام كثيرات الحدود المتعامدة من قبل كارل غوستاف جاكوبي سنة 1826. يُؤخذ المجال الأكثر شيوعًا للتكامل لمثل هذه القاعدة على النحو [−1, 1]،[6] لذلك تنص القاعدة على أن:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$

والتي تكون مضبوطة بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة 2n − 1 أو أقل. تُعرف هذه القاعدة المضبوطة باسم قاعدة غاوس-ليجاندر التربيعية. ستكون قاعدة التربيع فقط تقريبًا دقيقًا للتكامل أعلاه إذا تم تقريب f(x) بشكل جيد بواسطة كثير الحدود من الدرجة 2n − 1 أو أقل في [−1, 1].

مراجع

1. Golub, Gene H.; Welsch, John H. (1969). "Calculation of Gauss quadrature rules". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 23 (106): 221–230. DOI:10.1090/S0025-5718-69-99647-1. ISSN:0025-5718. Archived from the original on 2024-08-28.
2. "Functions of One Variable (GNU Octave)". docs.octave.org. مؤرشف من الأصل في 2023-12-03. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-31.
3. Laudadio, Teresa; Mastronardi, Nicola; Van Dooren, Paul (1 Jan 2023). "Computing Gaussian quadrature rules with high relative accuracy". Numerical Algorithms (بالإنجليزية). 92 (1): 767–793. DOI:10.1007/s11075-022-01297-9. ISSN:1572-9265. Archived from the original on 2024-04-15.
4. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi. In: Comm. Soc. Sci. Göttingen Math. Band 3, 1815, S. 29–76, Gallica, datiert 1814, auch in Werke, Band 3, 1876, S. 163–196. نسخة محفوظة 12 يوليو 2019 على موقع واي باك مشين.
5. معجم الرياضيا.ت، انكليزي - عربي - فرنسي، الجزء الثاني، إ بوروفسكي، وج . بورفاين، ترجمة/ د. على مصطفى بن الاشهر، مراجعة وإشراف د. محمد دبس، أكاديميا بيروت - لبنان، 1995، ص 310
6. ريتشارد ل؛ فايرس، ج دوغلاس (19 أغسطس 2014). التحليل العددي. العبيكان للنشر. ISBN:978-603-503-506-4. مؤرشف من الأصل في 2020-07-18.

انظر أيضا

• صيغة أويلر-ماكلورين