Teorema Lindemann–Weierstrass

Di dalam teori bilangan transedental, teorema Lindemann–Weierstrass menyatakan jika ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ adalah bilangan aljabar yang secara linear independen sepanjang bilangan rasional ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, maka ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}}}$ juga akan secara aljabar, independen sepanjang ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Dengan kata lain, medan perluasan ${\displaystyle \mathbb {Q} \left(e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}}\right)}$ memiliki tingkat transendensi ${\displaystyle n}$ lebih dari ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Nama teorema ini berasal dari dua orang matematikawan, Ferdinand von Lindemann dan Karl Weierstrass. Lindemann membuktikan pada tahun 1882 yang ${\displaystyle e^{\alpha }}$ adalah transendental untuk bilangan aljabar ${\displaystyle \alpha }$, bukan nol. Dengan demikian, ini menetapkan ${\displaystyle \pi }$ adalah transendental. Weierstrass berhasil membuktikan pernyataan Lindemann secara lebih umum pada tahun 1885.

Referensi

• Gordan, P. (1893), "Transcendenz von e und π.", Mathematische Annalen, 43: 222–224, doi:10.1007/bf01443647 
• Hermite, C. (1873), "Sur la fonction exponentielle.", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 77: 18–24 
• Hermite, C. (1874), Sur la fonction exponentielle., Paris: Gauthier-Villars 
• Hilbert, D. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π.", Mathematische Annalen, 43: 216–219, doi:10.1007/bf01443645, diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-10-06, diakses tanggal 2018-07-16 
• Lindemann, F. (1882), "Über die Ludolph'sche Zahl.", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 2: 679–682 
• Lindemann, F. (1882), "Über die Zahl π.", Mathematische Annalen, 20: 213–225, doi:10.1007/bf01446522, diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-10-06, diakses tanggal 2018-07-16 
• Weierstrass, K. (1885), "Zu Lindemann's Abhandlung. "Über die Ludolph'sche Zahl".", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin, 5: 1067–1085