Solusi aljabar

Artikel ini bukan mengenai Bilangan aljabar.

Solusi aljabar atau solusi dalam akar adalah ekspresi tertutup, dan lebih khusus lagi bentuk tertutup ekspresi aljabar, itu adalah solusi dari persamaan aljabar dalam hal koefisien, hanya mengandalkan penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, menaikkan pangkat integer, dan ekstraksi akar n (akar kuadrat, akar pangkat tiga, dan akar bilangan bulat lainnya).

Contoh terkenal adalah solusinya

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$

of the quadratic equation

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Ada solusi aljabar yang lebih rumit untuk persamaan kubik[1] dan persamaan kuartik.[2] The Abel–Ruffini theorem,[3]^:211 dan, secara lebih umum teori Galois, nyatakan bahwa beberapa persamaan kuintik, seperti

${\displaystyle x^{5}-x+1=0,}$

tidak memiliki solusi aljabar. Hal yang sama berlaku untuk setiap derajat yang lebih tinggi. Akan tetapi, untuk derajat apa pun ada beberapa persamaan polinomial yang memiliki penyelesaian aljabar; misalnya persamaan ${\displaystyle x^{10}=2}$ dapat diselesaikan sebagai ${\displaystyle x={\sqrt[{10}]{2}}.}$ Lihat pula Fungsi kuintik § Kuintik terpecahkan lainnya untuk berbagai contoh lain dalam derajat 5.

Évariste Galois memperkenalkan kriteria yang memungkinkan seseorang untuk memutuskan persamaan mana yang dapat dipecahkan dalam radikal. Lihat ekstensi radikal untuk formulasi yang tepat dari hasilnya.

Solusi aljabar membentuk subset dari ekspresi bentuk tertutup, karena yang terakhir mengizinkan fungsi transendental s (fungsi non-aljabar) seperti fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, dan fungsi trigonometri dan inversnya.

Referensi

1. Nickalls, R. W. D., "A new approach to solving the cubic: Cardano's solution revealed Diarsipkan 2020-10-29 di Wayback Machine.," Mathematical Gazette 77, November 1993, 354-359.
2. Carpenter, William, "On the solution of the real quartic," Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30.
3. Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1