Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, atau dikenal juga sebagai pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz,^[1][2][3][4] adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan seringkali dipakai dalam matematika.^[5]

Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859)^[2] dan Hermann Amandus Schwarz (1888). Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.^[5]

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} }$ dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwa

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis hanya menggunakan hasil kali dalam])

dengan ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$ dinyatakan dan didefinisikan dengan:$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}}$$sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle ,}$ dengan ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$ selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:^[6][7]

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis menggunakan norma dan hasil kali dalam])

Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika ${\displaystyle \mathbf {u} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} }$ adalah vektor yang tergantung linear.^[8][9][10]

Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif:$${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{atau}}\quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.}$$Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dengan memasukkan$${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}{\text{ dan }}v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.}$$ Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Dalam ruang Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)}$$Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di ${\displaystyle x}$ di bawah berikut adalah:$${\displaystyle 0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.}$$Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk ${\displaystyle x,}$ sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,$${\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0,}$$

Jika ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ dengan ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})}$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n})}$, dan ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$ dan ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},}$ dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:$${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2},}$$atau dengan kata lain,$${\displaystyle |u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}).}$$

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

• Pertidaksamaan Bessel – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Hölder – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Jensen
• Pertidaksamaan Kunita–Watanabe – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Minkowski – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Paley–Zygmund – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting