Kompleks Amitsur

Dalam aljabar, kompleks Amitsur adalah kompleks alami yang terkait dengan homomorfisme gelanggang. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan datar dan setia (bahasa Inggris: faithfully flat), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori penurunan rata tepat.

Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional lokalisasi gelanggang dan modul.[1]

Definisi

Misal ${\displaystyle \theta \colon R\to S}$ adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan himpunan kosimplisial ${\displaystyle C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}}$ (dengan ${\displaystyle \otimes }$ merujuk pada ${\displaystyle \otimes _{R}}$, bukan ${\displaystyle \otimes _{\mathbb {Z} }}$). Kemudian, definisikan wajah peta ${\displaystyle d^{i}\colon S^{\otimes {n+1}}\to S^{\otimes n+2}}$ dengan menyisipkan 1 pada titik ke-i :[a]

${\displaystyle d^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_{i}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

Kemudian, definisikan degenerasi ${\displaystyle s^{i}\colon S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}}$ dengan mengalikan ke-i dan titik-(i' ' + 1):

${\displaystyle s^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i}x_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, ${\displaystyle S^{\otimes \bullet +1}}$ adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi ${\displaystyle \theta }$ pada kompleks Amitsur:[2]

${\displaystyle 0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots }$

dengan ${\displaystyle \delta ^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}d^{i}.}$

Ketepatan kompleks Amitsur

Kasus faithfully flat

Dalam notasi di atas, jika ${\displaystyle \theta }$ adalah rata tepat kanan, maka teorema Alexander Grothendieck menyatakan bahwa kompleks (imbuhan) ${\displaystyle 0\to R{\overset {\theta }{\to }}S^{\otimes \bullet +1}}$ adalah eksak dan karenanya adalah resolusi. Lebih umum, jika ${\displaystyle \theta }$ adalah rata tepat kanan, maka M untuk setiap modul kiri-R,

${\displaystyle 0\to M\to S\otimes _{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes _{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes _{R}M\to \cdots }$

adalah eksak.[3]

Bukti:

Langkah 1: Pernyataan benar jika ${\displaystyle \theta \colon R\to S}$ terbagi sebagai homomorfisme gelanggang.

Bahwa "terbagi ${\displaystyle \theta }$" adalah menyatakan ${\displaystyle \rho \circ \theta =\operatorname {id} _{R}}$ untuk beberapa homomorfisme ${\displaystyle \rho \colon S\to R}$ (${\displaystyle \rho }$ merupakan retraksi dan terbagi ${\displaystyle \theta }$). Diberikan ${\displaystyle \rho }$ sebagai

${\displaystyle h\colon S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M}$

oleh

${\displaystyle {\begin{aligned}&h(x_{0}\otimes m)=\rho (x_{0})\otimes m,\\&h(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x_{0}))x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m.\end{aligned}}}$

Perhitungan yang mudah menunjukkan identitas berikut: dengan ${\displaystyle \delta ^{-1}=\theta \otimes \operatorname {id} _{M}\colon M\to S\otimes _{R}M}$,

${\displaystyle h\circ \delta ^{n}+\delta ^{n-1}\circ h=\operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$.

Hal ini untuk menyebutkan bahwa h adalah operator homotopi dan dengan demikian ${\displaystyle \operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$ sebagai menentukan nol peta pada kohomologi: yaitu, kompleksnya adalah eksak.

Langkah 2: Pernyataan tersebut benar secara umum.

Kami berkomentar bahwa ${\displaystyle S\to T:=S\otimes _{R}S,\,x\mapsto 1\otimes x}$ adalah bagian dari ${\displaystyle T\to S,\,x\otimes y\mapsto xy}$. Jadi, Langkah 1 yang diterapkan pada homomorfisme gelanggang terbagi ${\displaystyle S\to T}$ menyatakan:

${\displaystyle 0\to M_{S}\to T\otimes _{S}M_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes _{S}M_{S}\to \cdots ,}$

dimana ${\displaystyle M_{S}=S\otimes _{R}M}$ adalah eksak. Karena ${\displaystyle T\otimes _{S}M_{S}\simeq S^{\otimes 2}\otimes _{R}M}$, dsg., dengan "rata tepat" maka urutan aslinya adalah eksak. ${\displaystyle \square }$

Kasus topologi busur

Bhargav Bhatt and Peter Scholze (2019, §8) tunjukkan bahwa kompleks Amitsur eksak jika R dan S adalah gelanggang sempurna (komutatif), dan peta harus menjadi peliputan pada topologi busur (yang merupakan kondisi yang lebih lemah daripada peliputan pada topologi datar).

Catatan

1. Dalam referensi (M. Artin), tampaknya memiliki kesalahan ketik, dan ini harus menjadi rumus yang benar; lihat perhitungan ${\displaystyle s_{0}}$ dan ${\displaystyle d^{2}}$ di catatan.

Referensi

1. Artin 1999, III.7.
2. Artin 1999, III.6.
3. Artin 1999, Theorem III.6.6.

Bibliografi

• Artin, Michael (1999), Noncommutative rings (Berkeley lecture notes) (PDF) 
• Amitsur, Shimshon (1959), "Simple algebras and cohomology groups of arbitrary fields", Transactions of the American Mathematical Society, 90 (1): 73–112 
• Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2019), Prisms and Prismatic Cohomology, arXiv:1905.08229  
• Amitsur complex di nLab