Isomorfisme Choi–Jamiołkowski

Dalam teori informasi kuantum dan teori operator, isomorfisme Choi-Jamiołkowski[1] merujuk pada korespondensi antara saluran-saluran kuantum (yang dijelaskan oleh pemetaan-pemetaan positif lengkap) dan keadaan-keadaan kuantum (yang dijelaskan oleh matriks-matriks densitas), yang diperkenalkan oleh M. D. Choi[2] dan A. Jamiołkowski.[3] Isomorfisme ini juga disebut dualitas saluran-keadaan oleh beberapa penulis di bidang informasi kuantum,[4] tetapi secara matematis, isomorfisme ini adalah suatu gagasan yang lebih umum dibanding korespondensi antara operator-operator positif dan superoperator-superoperator positif lengkap.

Definisi

Untuk mempelajari suatu saluran kuantum ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dari sistem ${\displaystyle S}$ menuju sistem ${\displaystyle S'}$, yang merupakan suatu pemetaan positif lengkap dan trace-preserving dari suatu ruang operator ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})}$ menuju suatu ruang operator ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})}$, perlu diperkenalkan suatu sistem tambahan ${\displaystyle A}$ dengan dimensi yang sama dengan dimensi sistem ${\displaystyle S}$. Pertimbangkan keadaan Greenberger-Horne-Zeilinger berikut

${\displaystyle \mid \Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}\mid i\rangle \otimes \mid i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(\mid 0\rangle \otimes \mid 0\rangle +\dots +\mid d-1\rangle \otimes \mid d-1\rangle )}$

dalam ruang ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S}}$. Dikarenakan ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ merupakan pemetaan positif lengkap, ${\displaystyle I\otimes {\mathcal {E}}(\mid \Psi ^{+}\rangle \langle \Psi ^{+}\mid )}$ adalah suatu operator taknegatif. Sebaliknya, untuk sembarang operator taknegatif di ruang ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S}}$, dapat diasosiasikan suatu pemetaan positif lengkap dari ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})}$ menuju ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})}$. Korespondensi semacam ini disebut isomorfisme Choi-Jamiołkowski.

Referensi

1. Haapasalo, Erkka (2019-06-27). "The Choi-Jamiolkowski isomorphism and covariant quantum channels". arXiv:1906.11442 [math-ph, physics:quant-ph]. 
2. Choi, M. D. (1975). Completely positive linear maps on complex matrices. Linear algebra and its applications, 10(3), 285-290.
3. Jamiołkowski, A. (1972). Linear transformations which preserve trace and positive semidefiniteness of operators. Reports on Mathematical Physics, 3(4), 275-278.
4. Jiang, Min; Luo, Shunlong; Fu, Shuangshuang (2013-02-13). "Channel-state duality". Physical Review A (dalam bahasa Inggris). 87 (2): 022310. doi:10.1103/PhysRevA.87.022310. ISSN 1050-2947.