Gerak harmonik sederhana

Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak - balik benda melalui suatu titik keseimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam setiap sekon selalu konstan.^[1]

Gerak Harmonik Sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:^[1]

• Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Linier, misalnya penghisap dalam silinder gas, gerak osilasi air raksa / air dalam pipa U, gerak horizontal / vertikal dari pegas, dan sebagainya.
• Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Angular, misalnya gerak bandul/ bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya.

• Gerak harmonik pada bandul

Ketika beban digantungkan pada ayunan dan tidak diberikan gaya, maka benda akan diam di titik keseimbangan B.^[2] Jika beban ditarik ke titik A dan dilepaskan, maka beban akan bergerak ke B, C, lalu kembali lagi ke A.^[2] Gerakan beban akan terjadi berulang secara periodik, dengan kata lain beban pada ayunan di atas melakukan gerak harmonik sederhana.^[2]

• Gerak harmonik pada pegas

Semua pegas memiliki panjang alami sebagaimana tampak pada gambar.^[2] Ketika sebuah benda dihubungkan ke ujung sebuah pegas, maka pegas akan meregang (bertambah panjang) sejauh y. Pegas akan mencapai titik kesetimbangan jika tidak diberikan gaya luar (ditarik atau digoyang).^[2]

Benda yang bergerak harmonis sederhana pada ayunan sederhana memiliki periode.^[3] Periode ayunan (T) adalah waktu yang diperlukan benda untuk melakukan satu getaran. Benda dikatakan melakukan satu getaran jika benda bergerak dari titik di mana benda tersebut mulai bergerak dan kembali lagi ke titik tersebut. Satuan periode adalah sekon atau detik.^[3]

Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan oleh benda selama satu detik, yang dimaksudkan dengan getaran di sini adalah getaran lengkap.^[3] Satuan frekuensi adalah hertz.^[3]

Frekuensi adalah banyaknya getaran yang terjadi selama satu detik. Dengan demikian selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah:^[3]

${\displaystyle {\frac {1getaran}{fgetaran}}1sekon={\frac {1}{f}}sekon}$

Selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah periode. Dengan demikian, secara matematis hubungan antara periode dan frekuensi adalah sebagai berikut:^[3]

${\displaystyle T={\frac {1}{f}}}$

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}}$

Pada ayunan sederhana, selain periode dan frekuensi, terdapat juga amplitudo. Amplitudo adalah perpindahan maksimum dari titik kesetimbangan.^[3]

Gaya pemulih dimiliki oleh setiap benda elastis yang terkena gaya sehingga benda elastis tersebut berubah bentuk.^[2] Gaya yang timbul pada benda elastis untuk menarik kembali benda yang melekat padanya di sebut gaya pemulih.^[2]

Pegas adalah salah satu contoh benda elastis.^[2] Oleh sifat elastisnya ini, suatu pegas yang diberi gaya tekan atau gaya regang akan kembali pada keadaan setimbangnya mula- mula apabila gaya yang bekerja padanya dihilangkan.^[2] Gaya pemulih pada pegas banyak dimanfaatkan dalam bidang teknik dan kehidupan sehari- hari.^[2] Misalnya di dalam shockbreaker dan springbed.^[2] Sebuah pegas berfungsi meredam getaran saat roda kendaraan melewati jalan yang tidak rata.^[2] Pegas - pegas yang tersusun di dalam springbed akan memberikan kenyamanan saat orang tidur.^[2]

Jika gaya yang bekerja pada sebuah pegas dihilangkan, pegas tersebut akan kembali pada keadaan semula.^[4] Robert Hooke, ilmuwan berkebangsaan Inggris menyimpulkan bahwa sifat elastis pegas tersebut ada batasnya dan besar gaya pegas sebanding dengan pertambahan panjang pegas.^[4] Dari penelitian yang dilakukan, didapatkan bahwa besar gaya pegas pemulih sebanding dengan pertambahan panjang pegas. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai:^[4]

${\displaystyle F=-k\Delta \ x}$, dengan k = tetapan pegas (N / m)

Tanda (-) diberikan karena arah gaya pemulih pada pegas berlawanan dengan arah gerak pegas tersebut.

Konstanta pegas dapat berubah nilainya, apabila pegas-pegas tersebut disusun menjadi rangkaian.^[4] Besar konstanta total rangkaian pegas bergantung pada jenis rangkaian pegas, yaitu rangkaian pegas seri atau paralel.^[4]

• Seri / Deret

Gaya yang bekerja pada setiap pegas adalah sebesar F, sehingga pegas akan mengalami pertambahan panjang sebesar ${\displaystyle \Delta \ x_{1}}$ dan ${\displaystyle \Delta \ x_{2}}$. Secara umum, konstanta total pegas yang disusun seri dinyatakan dengan persamaan:^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{k_{t}otal}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+{\frac {1}{k_{3}}}+....+{\frac {1}{k_{n}}}}$, dengan k_n = konstanta pegas ke - n.

• Paralel

Jika rangkaian pegas ditarik dengan gaya sebesar F, setiap pegas akan mengalami gaya tarik sebesar ${\displaystyle F_{1}}$ dan ${\displaystyle F_{2}}$, pertambahan panjang sebesar ${\displaystyle \Delta \ x_{1}}$ dan ${\displaystyle \Delta \ x_{2}}$.^[4] Secara umum, konstanta total pegas yang dirangkai paralel dinyatakan dengan persamaan:^[4]

k_total = k₁ + k₂ + k₃ +....+ k_n,

dengan k_n = konstanta pegas ke - n.

Ayunan matematis merupakan suatu partikel massa yang tergantung pada suatu titik tetap pada seutas tali, di mana massa tali dapat diabaikan dan tali tidak dapat bertambah panjang.^[5] Dari gambar tersebut, terdapat sebuah beban bermassa ${\displaystyle m}$ tergantung pada seutas kawat halus sepanjang ${\displaystyle l}$ dan massanya dapat diabaikan. Apabila bandul itu bergerak vertikal dengan membentuk sudut ${\displaystyle \theta }$, gaya pemulih bandul tersebut adalah ${\displaystyle mgsin\theta }$.^[5] Secara matematis dapat dituliskan:^[5]

${\displaystyle F=mg\sin \theta }$

Oleh karena ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{l}}}$, maka:

${\displaystyle F=-mg{\frac {y}{l}}}$

Persamaan Gerak Harmonik Sederhana adalah:^[5]

${\displaystyle Y=A\sin \omega \ t}$

Keterangan:

• Y = simpangan
• A = simpangan maksimum (amplitudo)
• F = frekuensi
• t = waktu

Jika posisi sudut awal adalah ${\displaystyle \theta _{0}}$, maka persamaan gerak harmonik sederhana menjadi:^[5]

${\displaystyle Y=A\sin(\omega \ t+\theta _{0})}$

Kecepatan gerak harmonik sederhana:^[5]

${\displaystyle v={\frac {dy}{dt}}}$ ${\displaystyle (\sin A\sin \omega \ t)}$

${\displaystyle v=A\omega \ \cos \omega \ t}$

Kecepatan maksimum diperoleh jika nilai ${\displaystyle \cos \omega \ t=1}$ atau ${\displaystyle \omega \ t=0}$, sehingga: ${\displaystyle v_{maksimum}=A\omega }$

${\displaystyle Y=A\sin \omega \ t}$

Persamaan tersebut dikuadratkan

${\displaystyle Y^{2}=A^{2}\sin ^{2}\omega \ t}$, maka:^[5]

${\displaystyle Y^{2}=A^{2}(1-\cos ^{2}\omega \ t)}$

${\displaystyle Y^{2}=A^{2}-A^{2}\cos ^{2}\omega \ t}$ ...(1)

Dari persamaan: ${\displaystyle v=A\omega \ \cos \omega \ t}$

${\displaystyle {\frac {v}{\omega }}=A\cos \omega \ t}$ ...(2)

Persamaan (1) dan (2) dikalikan, sehingga didapatkan:

${\displaystyle v^{2}=\omega ^{2}\ (A^{2}-Y^{2})}$

Keterangan:

• v =kecepatan benda pada simpangan tertentu
• ${\displaystyle \omega }$ = kecepatan sudut
• A = amplitudo
• Y = simpangan

Dari persamaan kecepatan: ${\displaystyle v=A\omega \ cos\omega \ t}$, maka:^[5]

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}}$

${\displaystyle a=-A\omega ^{2}\ \sin \omega \ t}$

Percepatan maksimum jika ${\displaystyle \omega \ t=1}$ atau ${\displaystyle \omega \ t}$ = 90⁰ = ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle a_{maks}=-A\omega ^{2}\ \sin {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle a_{maks}=-A\omega ^{2}\ }$

Keterangan:

• a maks = percepatan maksimum
• A = amplitudo
• ${\displaystyle \omega }$ = kecepatan sudut

Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik sederhana yang saling tegak lurus, memiliki Amplitudo (A) dan frekuensi yang sama namun memiliki beda fase relatif ${\displaystyle {\frac {\phi }{2}}}$ atau kita dapat memandang Gerak Harmonik Sederhana sebagai suatu komponen Gerak Melingkar Beraturan.^[6] Jadi dapat disimpulkan bahwa pada suatu garis lurus, proyeksi sebuah benda yang melakukan Gerak Melingkar Beraturan merupakan Gerak Harmonik Sederhana.^[6] Frekuensi dan periode Gerak Melingkar Beraturan sama dengan Frekuensi dan periode Gerak Harmonik Sederhana yang diproyeksikan.^[6]

Misalnya sebuah benda bergerak dengan laju tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di samping.^[6] Benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, sehingga kecepatan sudutnya bernilai konstan.^[6] Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudut dalam Gerak Melingkar Beraturan dinyatakan dengan persamaan:^[6]

${\displaystyle \omega ={\frac {v}{\gamma }}}$

Karena jari-jari (r) pada Gerak Melingkar Beraturan di atas adalah A, maka persamaan ini diubah menjadi:

${\displaystyle \omega ={\frac {v}{\gamma }}}$, ${\displaystyle v=\omega \ A}$ ... (1)

Simpangan sudut (teta) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r), dan dinyatakan dengan persamaan:

${\displaystyle \theta ={\frac {x}{\gamma }}={\frac {vt}{\gamma }}}$ ... (2), x adalah jarak linear, v adalah kecepatan linear dan t adalah waktu tempuh (x = vt adalah persamaan Gerak Lurus alias Gerak Linear). Kemudian v pada persamaan 2 digantikan dengan v pada persamaan 1 dan jari-jari r digantikan dengan A:

${\displaystyle \theta ={\frac {vt}{\gamma }}}$

${\displaystyle \theta =\omega \ t}$

Dengan demikian, simpangan sudut benda relatif terhadap sumbu x dinyatakan dengan persamaan:

${\displaystyle \theta =\omega \ t+\theta _{0}}$ ... (3) (${\displaystyle \theta _{0}}$ adalah simpangan waktu pada t = 0})

Pada gambar di atas, posisi benda pada sumbu x dinyatakan dengan persamaan:

${\displaystyle x=Acos\theta }$ ...(4)

${\displaystyle x=Acos(\omega \ t+\theta _{0})}$

Persamaan posisi benda pada sumbu y:

${\displaystyle y=Asin(\omega \ t+\theta _{0})}$

Keterangan:

• A = amplitudo
• ${\displaystyle \omega }$ = kecepatan sudut
• ${\displaystyle \theta _{0}}$ = simpangan sudut pada saat t = 0

Peredam kejut (shock absorber) pada mobil memiliki komponen pada bagian atasnya terhubung dengan piston dan dipasangkan dengan rangka kendaraan.^[7] Bagian bawahnya, terpasang dengan silinder bagian bawah yang dipasangkan dengan as roda.^[7] Fluida kental menyebabkan gaya redaman yang bergantung pada kecepatan relatif dari kedua ujung unit tersebut.^[7] Hal ini membantu untuk mengendalikan guncangan pada roda.^[7]

Roda keseimbangan dari suatu jam mekanik memiliki komponen pegas.^[7] Pegas akan memberikan suatu torsi pemulih yang sebanding dengan perpindahan sudut dan posisi kesetimbangan.^[7] Gerak ini dinamakan Gerak Harmonik Sederhana sudut (angular).^[7]

Garpu tala dengan ukuran yang berbeda menghasilkan bunyi dengan pola titinada yang berbeda.^[7] Makin kecil massa m pada gigi garpu tala, makin tinggi frekuensi osilasi dan makin tinggi pola titinada dari bunyi yang dihasilkan garpu tala.^[7]

• Gaya
• Torsi

• [1] Diarsipkan 2013-05-29 di Wayback Machine.