Epsilon kroncker

Epsilon Kronecker yang memiliki simbol ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ merupakan sebuah bentuk yang sering kali digunakan untuk mempermudah penulisan dari hasil perkalian silang vektor (cross product). Pada perkalian silang vektor akan menghasilkan,

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{A}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{A}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)\times \left({{B}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{B}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{B}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)}$

sedangkan secara sederhana sebuah vektor dapat dituliskan sebagai,

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum \limits _{i=1}^{3}{{{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}}$

dengan,

${\displaystyle {{A}_{1}}={{A}_{x}};\ {{A}_{2}}={{A}_{y}};\ {{A}_{3}}={{A}_{z}}}$

dan vektor-vektor satuannya adalah,

${\displaystyle {{\mathbf {\hat {n}} }_{1}}=\mathbf {\hat {x}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{2}}=\mathbf {\hat {y}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{3}}=\mathbf {\hat {z}} }$

Berdasarkan aturan penjumlahan Einstein penjumlahan (sumasi) tersebut dapat ditulis sederhana sebagai,

${\displaystyle \mathbf {A} ={{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}$

Sehingga kita dapat menghubungkan perkalian silang dengan epsilon Kronecker sebagai,

${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\right)\times \left({{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}\right)={{A}_{i}}{{B}_{j}}\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\times {{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}={{\varepsilon }_{ijk}}{{A}_{i}}{{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{k}}}$

di mana nilai dari ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ didefinisikan sebagai,

${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}=\left\{{\begin{aligned}&+1,\ {\text{jika permutasi genap}}\\&{\text{-1}}{\text{,}}\ {\text{jika permutasi ganjil}}\\&{\text{0}}{\text{,}}\ {\text{jika selainnya}}\\\end{aligned}}\right.}$

Definisi tersebut juga menunjukkan bahwa ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ hanya akan memiliki nilai jika tiap indeksi memiliki nilai yang berbeda.Sehingga ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ yang tak lenyap dalam perkalian silang, serta nilai dari ${\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}$ adalah,

${\displaystyle {{\varepsilon }_{123}}={{\varepsilon }_{231}}={{\varepsilon }_{312}}=-{{\varepsilon }_{132}}=-{{\varepsilon }_{213}}=-{{\varepsilon }_{321}}=1}$