Aksioma peluang

Aksioma peluang standar adalah fondasi dari teori peluang yang diperkenalkan oleh matematikawan Andrey Kolmogorov pada tahun 1933.[1] Aksioma-aksioma ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.[2]

Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. Para ahli Bayesian seringkali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan teorema Cox sebagai gantinya.[3][4]

Aksioma Kolmogorov

Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu ruang ukuran ${\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)}$, dengan ${\displaystyle P\!\left(A\right)}$ menyatakan peluang terjadinya kejadian ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle P\!\left(X\right)=1}$, maka tripel ${\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)}$ adalah ruang peluang, dengan ${\displaystyle X}$ sebagai ruang sampel, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sebagai ruang kejadian, dan ${\displaystyle P}$ sebagai ukuran peluang.[1]

Tak negatif

Peluang dari suatu kejadian adalah suatu bilangan riil tak negatif. $${\displaystyle P\!\left(A\right)\geq 0\qquad \forall A\in {\mathcal {F}}}$$

Teori yang mengunakan nilai peluang negatif melonggarkan aksioma pertama.

Unitaritas

Peluang terjadinya suatu kejadian sederhana pada ruang sampel ialah 1. $${\displaystyle P\!\left(X\right)=1}$$

Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang ${\displaystyle P\!\left(A\right)}$ pasti berhingga, berbeda dengan teori ukur secara umum.

Aditif-sigma

Setiap barisan himpunan terhitung ${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$ yang bersifat saling lepas (atau dengan kata lain, himpunan kejadian-kejadian yang saling lepas) akan memenuhi persamaan berikut. $${\displaystyle P\!\left(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \right)=P\!\left(A_{1}\right)+P\!\left(A_{2}\right)+P\!\left(A_{3}\right)+\ldots }$$ Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi gabungan besar, maka $${\displaystyle P\!\left(\bigcup _{n\,=\,1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }P\!\left(A_{n}\right)}$$

Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang aditif berhingga, yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan himpunan aljabar, daripada aljabar sigma.[5]

Sifat-sifat peluang

Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti[6][7][8] dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.

Diberikan suatu ruang peluang ${\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)}$ dan diambil sembarang ${\displaystyle A,\,B\in {\mathcal {F}}}$. Beberapa sifat peluang antara lain:

Monoton

Jika ${\displaystyle A\subseteq B}$, maka $${\displaystyle P\!\left(A\right)\leq P\!\left(B\right)}$$

Bukti:

Perhatikan himpunan ${\displaystyle A}$ dan himpunan ${\displaystyle B\setminus A}$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka $${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\A&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&B\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(B\right)\end{array}}}$$ Pada baris kedua, gabungan dari himpunan ${\displaystyle A}$ dan himpunan ${\displaystyle B\setminus A}$ adalah himpunan ${\displaystyle B}$, sebab diketahui bahwa ${\displaystyle A\subseteq B}$. Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}P\!\left(B\setminus A\right)&\geq 0\\P\!\left(B\right)-P\!\left(A\right)&\geq 0\\P\!\left(B\right)&\geq P\!\left(A\right)\end{aligned}}}$$ sehingga terbukti bahwa ${\displaystyle P\!\left(A\right)\leq P\!\left(B\right)}$ apabila ${\displaystyle A\subseteq B}$.

Peluang dari himpunan kosong

$${\displaystyle P\!\left(\varnothing \right)=0}$$ Dalam banyak kasus, ${\displaystyle \varnothing }$ bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.

Bukti:

Salah satu sifat dari himpunan kosong adalah $${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$$ Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka $${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &\varnothing &=&\varnothing \\A&\cup &\varnothing &=&A\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(\varnothing \right)&=&P\!\left(A\right)\end{array}}}$$ Dengan mengurangi kedua ruas pada persamaan di atas dengan ${\displaystyle P\!\left(A\right)}$, maka terbukti bahwa $${\displaystyle P\!\left(\varnothing \right)=0}$$

Peluang komplemen

$${\displaystyle P\!\left(A'\right)=1-P\!\left(A\right)}$$ dengan ${\displaystyle A'}$ menyatakan komplemen dari himpunan ${\displaystyle A}$

Bukti:

Perhatikan himpunan ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle A'}$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka $${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &A'&=&\varnothing \\A&\cup &A'&=&X\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(A'\right)&=&P\!\left(X\right)\end{array}}}$$ Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka ${\displaystyle P\!\left(X\right)=1}$, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai $${\displaystyle {\begin{aligned}P\!\left(A\right)+P\!\left(A'\right)&=1\\P\!\left(A'\right)&=1-P\!\left(A\right)\end{aligned}}}$$

Nilai numerik

$${\displaystyle 0\leq P\!\left(A\right)\leq 1}$$

Bukti:

Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya, $${\displaystyle {\begin{aligned}\varnothing &\subseteq A\subseteq X\\P\!\left(\varnothing \right)&\leq P\!\left(A\right)\leq P\!\left(X\right)\\0&\leq P\!\left(A\right)\leq 1\end{aligned}}}$$

Aturan penjumlahan

$${\displaystyle P\!\left(A\cup B\right)=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)}$$

Bukti:

Perhatikan himpunan ${\displaystyle A\cap B}$ dan ${\displaystyle B\setminus A}$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan $${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\left(A\cap B\right)&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\\left(A\cap B\right)&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&B\\\hline P\!\left(A\cap B\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(B\right)\end{array}}}$$

Sekarang perhatikan himpunan ${\displaystyle A}$ dan himpunan ${\displaystyle B\setminus A}$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan $${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\A&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&A\cup B\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(A\cup B\right)\end{array}}}$$

Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}P\!\left(B\setminus A\right)+P\!\left(A\cap B\right)&=P\!\left(B\right)\\P\!\left(B\setminus A\right)&=P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\\P\!\left(A\right)+P\!\left(B\setminus A\right)&=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\\P\!\left(A\cup B\right)&=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\end{aligned}}}$$

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan prinsip inklusi-eksklusi.

Lihat juga

• Aljabar Borel
• Peluang bersyarat
• Statistika Intuitif
• Teori himpunan
• Aljabar sigma

Referensi

1. Kolmogorov, Andrey (1950). Foundations of the theory of probability [Fondasi dari teori peluang] (dalam bahasa Inggris). New York, US: Chelsea Publishing Company.  Parameter |orig-date= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
2. Aldous, David. "What is the significance of the Kolmogorov axioms?" [Apa signifikannya aksioma Kolmogorov?]. David Aldous (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 19, 2019. 
3. Cox, R. T. (1946). "Probability, Frequency and Reasonable Expectation" [Peluang, Frekuensi, dan Ekspektasi yang Masuk Akal]. American Journal of Physics (dalam bahasa Inggris). 14 (1): 1–10. Bibcode:1946AmJPh..14....1C. doi:10.1119/1.1990764. 
4. Cox, R. T. (1961). The Algebra of Probable Inference (dalam bahasa Inggris). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. 
5. Hájek, Alan (August 28, 2019). "Interpretations of Probability" [Interpretasi peluang]. Stanford Encyclopedia of Philosophy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 17, 2019. 
6. Ross, Sheldon M. (2014). A first course in probability (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-Ninth). Upper Saddle River, New Jersey. hlm. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384. 
7. Gerard, David (December 9, 2017). "Proofs from axioms" (PDF) (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019. 
8. Jackson, Bill (2010). "Probability (Lecture Notes - Week 3)" (PDF). School of Mathematics, Queen Mary University of London (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019. 

Bacaan lanjutan

• (Inggris) DeGroot, Morris H. (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. hlm. 12–16. ISBN 0-201-01503-X. 
• (Inggris) McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatic Probability". Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. hlm. 13–28.