Titik tetap (matematika)

Jangan dikelirukan dengan titik stasioner yaitu titik sehingga ${\displaystyle f'(x)=0}$, atau dengan aritmatika titik tetap, sebentuk aritmatika dengan presisi terbatas dalam komputasi.

Suatu fungsi dengan tiga titik tetap (setidaknya yang tampak dalam grafik).

Dalam matematika, titik tetap (juga dikenal sebagai titik invarian[1]) adalah nilai yang tetap sama setelah suatu transformasi diperlakukan atas titik itu. Lebih tepatnya, titik tetap dari fungsi yang didefinisikan dari suatu himpunan ke dirinya sendiri adalah titik (anggota) pada himpunan tersebut yang dipetakan ke dirinya sendiri,[2].

Sebagai contoh, pada bidang, transformasi pencerminan memiliki titik tetap yaitu titik-titik sepanjang sumbu pencerminannya; perputaran memiliki titik tetap pada sumbu perputarannnya, pergeseran tidak memiliki titik tetap.[3] Lagi, fungsi kebalikan ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ punya dua titik tetap, yakni ${\displaystyle x=-1}$ dan ${\displaystyle x=1}$.

Titik tetap suatu fungsi

Secara formal, misalkan ${\displaystyle f(x)}$ suatu fungsi yang daerah asalnya adalah suatu himpunan ${\displaystyle X}$, atau himpunan bagian dari ${\displaystyle X}$, dan daerah sekawannya adalah ${\displaystyle X}$ juga. Titik tetap fungsi ${\displaystyle f(x)}$ adalah suatu titik (anggota) pada himpunan ${\displaystyle X}$ yang dipetakan ke dirinya sendiri, yakni ${\displaystyle a\in X}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle f(a)=a}$.[4]

Sebagai contoh, jika ${\displaystyle f(x)}$ terdefinisi pada bilangan riil dengan$${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$$ maka 2 adalah titik tetap dari ${\displaystyle f(x)}$, karena ${\displaystyle f(2)=2}$.

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua fungsi punya titik tetap: misalnya, f(x) = x + 1, tidak memiliki titik tetap, sebab ${\displaystyle x}$ tidak akan pernah sama dengan x + 1 untuk setiap bilangan riil.

Secara grafik, jika ${\displaystyle x}$ suatu titik tetap fungsi ${\displaystyle f(x)}$ maka titik ${\displaystyle (x,f(x))}$ berada pada garis ${\displaystyle y=x}$, atau dengan kata lain, grafik fungsi ${\displaystyle f(x)}$ berpotongan dengan garis ${\displaystyle y=x}$ di titik ${\displaystyle (x,f(x))}$.

Iterasi titik tetap

Artikel utama: Iterasi titik tetap

Iterasi (lelaran[5]) titik tetap adalah salah satu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu fungsi, dengan jalan mencari titik tetap fungsi tersebut. Metode ini disandarkan pada prinsip pemetaan kontraksi. Gagasannya, diberikan suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dengan domain dan kodomain yang sama, beserta titik ${\displaystyle x_{0}}$ pada domain ${\displaystyle f}$, maka iterasi titik tetapnya ialah

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

yang menghasilkan barisan ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ dari penerapan fungsi teriterasi ${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$ yang diharapkan akan konvergen ke suatu titik ${\displaystyle x}$. Apabila ${\displaystyle f}$ kontinu, maka dapat dibuktikan kalau nilai ${\displaystyle x}$ yang telah diperoleh adalah titik tetap dari ${\displaystyle f}$.

Titik-titik yang kembali ke nilai yang sama setelah suatu iterasi berhingga dari suatu fungsi disebut titik periodik. Titik tetap adalah titik periodik dengan periode sama dengan satu.

Titik tetap dari suatu tindakan grup

• diberikan grup G yang bertindak himpunan X dengan tindakan grup ${\displaystyle \cdot }$ dari kiri. Elemen x di X disebut sebagai titik tetap dari g jika ${\displaystyle g\cdot x=x}$.

• Misalkan f adalah suatu automorfisme dari grup G. Maka, himpunan ${\displaystyle G^{f}}$ yang didefinisikan sebagai

$${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

merupakan subgrup dari G, yang biasa dikenal sebagai Subgrup titik tetap

• Misalkan f adalah suatu automorfisme dari gelanggang R. Maka, himpunan ${\displaystyle R^{f}}$ yang didefinisikan sebagai

$${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

merupakan subgelanggang dari R, yang biasa dikenal sebagai Subgelanggang titik tetap

• Dalam teori Galois, himpunan titik-titik tetap dari himpunan automorfisme lapangan adalah lapangan yang disebut medan tetap dari himpunan automorfisme.

Teorema titik tetap

Artikel utama: Teorema titik tetap

Teorema titik tetap adalah hasil yang menyatakan bahwa setidaknya terdapat satu titik tetap, dalam suatu kondisi tertentu.[6] Beberapa penulis mengklaim bahwa hasil semacam ini adalah salah satu yang secara umum paling berguna dalam matematika.[7]

Penerapan

Dalam banyak bidang, konsep Ekuilibrium atau stabilitas adalah konsep dasar yang bisa dijelaskan dengan konsep titik tetap. Beberapa contohnya adalah sebagai berikut.

• dalam geometri proyektif, titik tetap suatu homografi disebut sebagai titik ganda (bahasa Inggris: double point).[8][9]
• Dalam ilmu ekonomi, kesetimbangan Nash dari teori permainan adalah titik tetap dari korespondensi tanggapan terbaik permainan tersebut. John Nash mengeksploitasi teorema titik tetap Kakutani dalam seminal paper miliknya, yang membuatnya memenangkan hadiah nobel di bidang ekonomi.
• Kompilator bahasa pemrograman menggunakan perhitungan titik tetap untuk analisis program, misalnya dalam analisis aliran data, yang terkadang diperlukan untuk optimalisasi kode. Titik tetap juga merupakan konsep inti yang digunakan oleh program umum dalam metode analisis penafsiran abstrak.[10]
• Vektor dari nilai-nilai PageRank dari semua laman web adalah titik tetap dari transformasi linier yang diperoleh dari struktur pranala Waring Wera Wanua.
• Distribusi Stasioner suatu rantai Markov adalah titik tetap dari fungsi peluang transisi satu langkah.
• Logikawan Saul Kripke menggunakan titik tetap dalam teori tentang kebenaran miliknya. Dia menunjukkan bagaimana seseorang dapat membuat predikat yang hanya benar sebagian (predikat yang tidak terdefinisi nilai kebenarannya, untuk tipe kalimat yang bermasalah, seperti "Kalimat ini tidaklah benar"), dengan mendefinisikan "kebenaran" secara rekursif, starting from the segment of a language that contains no occurrences of the word, and continuing until the process ceases to yield any newly well-defined sentences (proses ini memakan terhitung tak-berhingga langkah). That is, for a language B, misalkan B′ (dibaca "B-aksen") adalah language generated by adding to L, for each sentence S in B, the sentence "S is true." Titik tetap akan tercapai apabila B′ itu B; pada titik ini, kalimat seperti "Kalimat ini tidaklah benar" tetap tidak terdefinisi, sehingga, menurut Kripke, the theory is suitable for a natural language that contains its own truth predicate.

Lihat pula

• Siklus dan titik tetap suatu permutasi
• Vektor eigen
• Ekuilibrium
• Titik tetap pada transformasi Möbius
• Idempoten
• komposisi tak hingga dari fungsi analitik
• Invarian (matematika)

Catatan

1. Fitri Merry Yuliana, S.Pd, M.Si dkk (2014). "Refleksi". Sumber Belajar Kemdikbud. Diakses tanggal 2022-12-28. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
2. Vanberg, Dale; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2017). Kalkulus. Diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, PhD. Jakarta: Erlangga.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. Ryan, Patrick J. (1986). Euclidean and Non-Euclidean Geometry: An Analytic Approach. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511806209. ISBN 978-0-521-27635-1. 
4. Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. Springer Monographs in Mathematics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-0-387-21593-8. ISBN 978-1-4419-1805-5. 
5. Rinaldi Munir (2015). Metode Numerik. Bandung: Informatika.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
6. Brown, R. F., ed. (1988). Fixed Point Theory and Its Applications [Teori Titik Tetap beserta Penerapannya] (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-5080-6. 
7. Dugundji, James; Granas, Andrzej (2003). Fixed Point Theory [Teori Titik Tetap] (dalam bahasa Inggris). Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5. 
8. Coxeter, H. S. M. (1942). Non-Euclidean Geometry [Geometri Non-Euclides] (dalam bahasa Inggris). University of Toronto Press. hlm. 36. 
9. Halsted, George Bruce (1906). Synthetic Projective Geometry [Geometri Proyektif Sintetis] (dalam bahasa Inggris). hlm. 27. 
10. "P. Cousot & R. Cousot, Abstract interpretation: A unified lattice model for static analysis of programs by construction or approximation of fixpoints". 

Pranala luar

• Solusi Elegan untuk Menggambar Titik Tetap (dalam bahasa inggris)