Struktur aljabar

Dalam matematika, lebih spesifiknya dalam aljabar abstrak dan aljabar semesta, sebuah struktur aljabar terdiri dari sebuah himpunan A, sekumpulan operasi pada A dengan aritas terhingga (biasanya operasi biner), dan sebuah himpunan terhingga yang terdiri atas identitas-identitas, disebut sebagai aksioma, yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Sebagian struktur aljabar juga melibatkan himpunan lain (yang disebut himpunan skalar).

Dalam konteks aljabar universal, himpunan A dengan struktur seperti ini disebut sebuah aljabar,^[1] sementara, dalam konteks lain, itu (secara ambigu) disebut struktur aljabar, karena istilah aljabar digunakan untuk struktur aljabar spesifik yang merupakan ruang vektor di atas sebuah medan atau modul di atas sebuah gelanggang komutatif.

Contoh struktur aljabar dengan satu himpunan adalah grup, gelanggang, medan, dan kekisi. Contoh struktur aljabar dengan dua himpunan di antaranya adalah ruang vektor, modul, dan aljabar.

Sifat dari suatu struktur aljabar dipelajari di aljabar abstrak. Teori umum mengenai aljabar abstrak telah diformalkan dalam aljabar universal. Bahasa teori kategori digunakan untuk menggambarkan dan mempelajari hubungan antara jenis objek aljabar dan non-aljabar yang berbeda. Ini karena terkadang bisa ditemukan hubungan yang kuat antara beberapa jenis objek, meskipun kelihatannya berbeda. Contohnya, teori Galois menetapkan hubungan antara medan dan grup tertentu: dua struktur aljabar yang berbeda.

Pengantar

Penjumlahan dan perkalian pada bilangan adalah contoh operasi prototipikal yang menggabungkan dua elemen himpunan untuk menghasilkan elemen ketiga dari himpunan. Operasi ini mematuhi beberapa hukum aljabar. Sebagai contoh, $a + (b + c) = (a + b) + c$ dan $a (bc) = (ab) c$ sebagai hukum asosiatif. Juga $a + b = b + a$ dan $ab = ba$ sebagai hukum komutatif. Banyak sistem yang dipelajari oleh matematikawan memiliki operasi yang mematuhi beberapa, tetapi tidak harus semua, hukum aritmetika biasa. Misalnya, rotasi suatu objek dalam ruang tiga dimensi dapat digabungkan dengan, contohnya, melakukan rotasi pertama pada objek dan kemudian menerapkan rotasi kedua di atasnya dalam orientasi baru yang dibuat oleh rotasi sebelumnya. Rotasi sebagai operasi mematuhi hukum asosiatif, tetapi dapat gagal memenuhi hukum komutatif.

Matematikawan memberi nama pada himpunan dengan satu atau lebih operasi yang mematuhi kumpulan hukum tertentu, dan mempelajarinya secara abstrak sebagai struktur aljabar. Jika soal baru dapat ditunjukkan mengikuti hukum salah satu struktur aljabar ini, semua pekerjaan yang telah dilakukan pada kategori itu di masa lalu dapat diterapkan ke soal baru.

Secara umum penuh, struktur aljabar mungkin melibatkan sejumlah himpunan dan operasi sembarang yang dapat menggabungkan lebih dari dua elemen (aritasnya lebih dari dua), tetapi artikel ini berfokus pada operasi biner. Contoh di sini sama sekali bukan daftar lengkap, tetapi dimaksudkan sebagai daftar perwakilan dan mencakup struktur yang paling umum. Daftar struktur aljabar yang lebih panjang dapat ditemukan di tautan luar dan di dalam Kategori:Struktur aljabar. Struktur terdaftar dalam urutan perkiraan untuk meningkatkan kompleksitas.

Contoh

Satu himpunan dengan operasi

Struktur sederhana: yang bukan termasuk operasi biner:

Himpunan: struktur aljabar H tidak memiliki operasi.
Himpunan lonjong: H memiliki satu atau lebih elemen yang dapat dibedakan, sering kali 0, 1, atau keduanya.
Sistem uner: H dan satu operasi uner di atas H.
Sistem lonjong uner: sistem uner dengan H himpunan lonjong.

Struktur dengan grup: satu operasi biner. Operasi biner dapat ditunjukkan dengan simbol apa saja, atau tanpa simbol (penjajaran) untuk perkalian bilangan riil biasa.

Magma atau grupoid: S dan operasi biner tunggal di atas S.
Semigrup: magma asosiatif.
Monoid: sebuah semigrup dengan elemen identitas.
Grup: sebuah monoid dengan operasi uner (invers) adalah elemen invers.
Grup Abelian: grup dimana operasi binernya adalah komutatif.
Semikisi: semigrup dimana operasi idempoten dan komutatif. Operasi biner dapat disebut bertemu atau bergabung.
Grup semu: magma yang menggunakan sifat persegi Latin. Grup semu dapat direpresentasikan menggunakan tiga operasi biner.^[2]

Loop: grup semu dengan identitas.

Struktur dengan gelanggang atau Gelanggangoid: dua operasi biner, disebut penjumlahan dan perkalian, dengan perkalian distribusi di atas penjumlahan.

Semigelanggang: gelanggangoid sedemikian rupa S adalah monoid di bawah setiap operasi. Penjumlahan biasanya diasumsikan komutatif dan asosiatif, dan produk monoid diasumsikan terdistribusi selama penjumlahan di kedua sisi, dan identitas aditif 0 adalah elemen penyerap dalam arti bahwa 0x = 0 untuk semua x.
Gelanggang dekat: sebuah semigelanggang dimana monoid aditifnya adalah grup (non-abelian).
Gelanggang: sebuah semigelanggang dimana monoid aditifnya merupakan grup abelian.
Gelanggang Lie: gelanggangoid dimana monoid aditifnya merupakan grup abelian, tetapi operasi perkaliannya menggunakan identitas Jacobi dari asosiatif.
Gelanggang komutatif: gelanggang dimana operasi perkalian bersifat komutatif.
Gelanggang Boolean: gelanggang komutatif dengan operasi perkalian idempoten.
Medan: gelanggang komutatif yang menggunakan pembalikan perkalian untuk setiap elemen bukan nol.
Aljabar Kleene: semigelanggang dengan penambahan idempoten dan operasi uner, Bintang Kleene, menggunakan sifat tambahan.
aljabar-*: gelanggang dengan operasi uner tambahan (*) yang menggunakan sifat tambahan.

Struktur kisi: dua atau lebih operasi biner, termasuk operasi yang disebut bertemu dan bergabung, dihubungkan dengan hukum absorpsi.^[3]

Kisi kompleks: kisi di mana bertemu dan bergabung arbitrer ada.
Kisi berbatas: kisi dengan elemen terbesar dan elemen terkecil.
Kisi komplementer: kisi berbatas dengan operasi unary, komplementasi, dilambangkan dengan postfiks ^⊥. Gabungan elemen dengan komplemennya adalah elemen terbesar, dan pertemuan kedua elemen adalah elemen terkecil.
Kisi modular: kisi dimana elemennya menggunakan identitas modular tambahan.
Kisi distributif: kisi di mana bertemu dan bergabung mendistribusikan di atas yang lain. Kisi distributif bersifat modular, tetapi kebalikannya tidak berlaku.
Aljabar Boolean: kisi distributif yang dilengkapi. Salah satu dari bertemu atau bergabung dapat didefinisikan dalam istilah yang lain. Diperlihatkan setara dengan struktur gelanggang dengan nama yang sama di atas.
Aljabar Heyting: kisi distributif berbatas dengan operasi biner tambahan, kompleks semu relatif, dilambangkan dengan infiks →, dan diatur oleh aksiomax → x = 1, x (x → y) = x y, y (x → y) = y, x → (y z) = (x → y) (x → z).

Aritmetika: dua operasi biner, penjumlahan dan perkalian. S adalah himpunan tak hingga. Aritmetika adalah sistem uner, dimana operasi uner adalah injeksi penerus, dan dengan elemen yang dibedakan 0.

Aritmetika Robinson. Penjumlahan dan perkalian adalah secara rekursif ditentukan dengan menggunakan penerus. 0 adalah elemen identitas untuk penjumlahan, dan memusnahkan perkalian. Aritmetika Robinson sebagai kedekatannya dengan aritmetika Peano.
Aritmetika Peano. Aritmetika Robinson dengan skema aksioma dari induksi. Kebanyakan aksioma gelanggang dan medan yang mengacu pada sifat penjumlahan dan perkalian adalah teorema aritmetika Peano atau ekstensi yang tepat daripadanya.

Dua himpunan dengan operasi

Struktuk-Modul: sistem komposit yang melibatkan dua himpunan dan menggunakan setidaknya dua operasi biner.

Grup dengan operasi: grup G dengan himpunan Ω dan operasi biner Ω × G → G menggunakan aksioma tertentu.
Modul: grup abelian M dan gelanggang R sebagai operator pada M. Anggota R kadang-kadang disebut skalar, dan operasi biner dari perkalian skalar adalah fungsi R × M → M, menggunakan beberapa aksioma. Menghitung operasi gelanggang, sistem tersebut memiliki setidaknya tiga operasi.
Ruang vektor: modul dimana gelanggang R adalah gelanggang pembagian atau bidang.
Ruang kuadrat: ruang vektor V di atas bidang F dengan bentuk kuadrat di V yang mengambil nilai dalam F.

Struktur-Aljabar: sistem komposit yang ditentukan dalam dua himpunan, gelanggang R dan modul-R dengan M operasi yang disebut perkalian. Sebagai sistem dengan lima operasi biner: dua operasi pada R, dari dua M dan satu yang melibatkan R dan M.

Aljabar di atas gelanggang (atau Aljabar-R): modul di atas gelanggang komutatif R, pula operasi perkalian yang kompatibel dengan struktur modul. Distribusi atas penjumlahan dan linearitas sehubungan dengan perkalian dengan elemen R. Teori suatu aljabar di atas suatu bidang berkembang dengan sangat baik.
Aljabar asosiatif: aljabar di atas gelanggang sehingga perkaliannya adalah asosiatif.
Aljabar non-asosiatif: modul di atas cincin komutatif, dilengkapi dengan operasi perkalian gelanggang yang belum tentu asosiatif. Seringkali asosiatif diganti dengan identitas yang berbeda, seperti alternasi, identitas Jacobi, atau identitas Yordania.
Koaljabar: ruang vektor dengan "koperkalian" yang didefinisikan secara ganda dengan aljabar asosiatif.
Aljabar Lie: jenis khusus dari aljabar non-asosiatif yang produknya memenuhi identitas Jacobi.
Koaljabar Lie: ruang vektor dengan "koperkalian" yang didefinisikan secara ganda dengan Lie aljabar.
Aljabar bertingkat: ruang vektor bertingkat dengan struktur aljabar yang kompatibel dengan penilaian. Idenya adalah jika nilai dua elemen a dan b diketahui, kemudian kelas ab diketahui, dan lokasi produk ab ditentukan dalam dekomposisi.
Ruang hasil kali dalam: ruang vektor F V dengan bentuk definisi bilinear V × V → F.

Empat atau lebih operasi biner:

Bialjabar: aljabar asosiatif dengan struktur koaljabar yang kompatibel.
Bialjabar Lie: aljabar Lie dengan struktur bialjabar yang kompatibel.
Aljabar Hopf: sebuah bialjabar dengan aksioma koneksi (antipode).
Aljabar Clifford: aljabar asosiatif bertingkat dengan produk eksterior dari beberapa kemungkinan produk dalam. Aljabar eksterior dan aljabar geometris adalah kasus khusus dari konstruksi ini.

Struktur hibrida

Struktur aljabar juga dapat hidup berdampingan dengan struktur tambahan yang bersifat non-aljabar, seperti Urutan sebagian atau topologi. Struktur tambahan harus sesuai, dalam arti tertentu, dengan struktur aljabar.

Grup topologi: grup dengan topologi yang kompatibel dengan operasi grup.
Grup Lie: grup topologi dengan struktur halus manifold yang kompatibel.
Grup terurut, gelanggang terurut dan bidang terurut: setiap jenis struktur dengan urutan parsial yang kompatibel.
Grup Archimedean: grup berurutan linier yang dipegang oleh sifat Archimedean.
Ruang vektor topologis: ruang vektor dengan M yang memiliki topologi yang kompatibel.
Ruang vektor bernorma: ruang vektor dengan norma yang kompatibel. Jika ruang seperti itu lengkap (sebagai ruang metrik) maka itu disebut Ruang Banach.
Ruang Hilbert: suatu ruang hasil kali dalam di atas bilangan real atau kompleks yang hasil kali dalamnya memunculkan struktur ruang Banach.
Aljabar operator verteks
Aljabar Von Neumann: *-aljabar operator pada ruang Hilbert dilengkapi dengan topologi operator lemah.

Teori kategori

Teori kategori adalah alat lain untuk mempelajari struktur aljabar (lihat, misalnya, Mac Lane 1998). Kategori adalah kumpulan objek yang terkait dengan morfisme. Setiap struktur aljabar memiliki pengertiannya sendiri tentang homomorfisme, yaitu setiap fungsi yang kompatibel dengan operasi yang mendefinisikan struktur tersebut. Dengan cara ini, setiap struktur aljabar memunculkan kategori. Misalnya, kategori grup memiliki semua grup sebagai objek dan semua homomorfisme grup sebagai morfisme. Kategori konkret ini dapat dilihat sebagai kategori himpunan dengan struktur teori kategori yang ditambahkan. Demikian juga, kategori grup topologi (yang morfismenya merupakan homomorfisme grup kontinu) adalah kategori ruang topologi dengan struktur ekstra. Sebuah fungsi pelupa antara kategori struktur aljabar "melupakan" sebagian dari struktur.

Ada berbagai konsep dalam teori kategori yang mencoba menangkap karakter aljabar dari suatu konteks, misalnya

Arti berbeda dari "struktur"

Dalam sedikit penyalahgunaan notasi, kata "struktur" juga dapat merujuk pada operasi pada struktur, bukan pada himpunan dasarnya itu sendiri. Misalnya, kalimat, "Kami telah menetapkan struktur gelanggang pada himpunan $A$ ," berarti kita telah mendefinisikan gelanggang operasi pada himpunan $A$ . Untuk contoh lain, grup $(\mathbb {Z} ,+)$ bisa dilihat sebagai satu himpunan $\mathbb {Z}$ yang dilengkapi dengan struktur aljabar, yaitu operasi $+$ .

Lihat pula

Catatan kaki

^ P.M. Cohn. (1981) Universal Algebra, Springer, p. 41.
^ Jonathan D. H. Smith (15 November 2006). An Introduction to Quasigroups and Their Representations. Chapman & Hall. ISBN 9781420010633. Diakses tanggal 2012-08-02.
^ Gelanggangoid dan kisi dapat dibedakan dengan jelas meskipun keduanya memiliki dua operasi biner yang menentukan. Dalam kasus ringoids, dua operasi dihubungkan oleh hukum distributif; dalam kasus kisi, mereka dihubungkan oleh hukum absorpsi. Ringoid juga cenderung memiliki model numerik, sedangkan kisi cenderung memiliki model teori himpunan.

Pranala luar

Struktur aljabar Jipsen, mengandung banyak struktur yang tidak disebutkan di halaman ini.
Halaman Mathworld mengenai aljabar abstrak.
Stanford Encyclopedia of Philosophy: Algebra oleh Vaughan Pratt.

[1] P.M. Cohn. (1981) Universal Algebra, Springer, p. 41.

[2] Jonathan D. H. Smith (15 November 2006). An Introduction to Quasigroups and Their Representations. Chapman & Hall. ISBN 9781420010633. Diakses tanggal 2012-08-02.

[3] Gelanggangoid dan kisi dapat dibedakan dengan jelas meskipun keduanya memiliki dua operasi biner yang menentukan. Dalam kasus ringoids, dua operasi dihubungkan oleh hukum distributif; dalam kasus kisi, mereka dihubungkan oleh hukum absorpsi. Ringoid juga cenderung memiliki model numerik, sedangkan kisi cenderung memiliki model teori himpunan.

[1]

[2]

[3]