Bilangan prima terbesar yang diketahui

Plot banyaknya digit pada bilangan prima terbesar yang diketahui per tahun, sejak kemunculan komputer elektronik. Sumbu vertikal memakai skala logaritma.

Bilangan prima terbesar yang diketahui (hingga September 2021^[update]) adalah 2^82,589,933 − 1, sebuah bilangan dengan 24,862,048 digit ketika ditulis dalam basis desimal. Bilangan ini temukan lewat komputer yang disumbangkan secara sukarela oleh Patrick Laroche dari Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) pada tahun 2018.

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif, selain angka 1, yang tidak memiliki faktor selain angka 1 dan dirinya sendiri. Teorema Euklides menyatakan ada tak hingga banyaknya bilangan prima, sehingga tidak ada bilangan prima terbesar.

Banyak bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan prima Mersenne karena ada tes bilangan prima yang lebih cepat untuk bilangan prima jenis ini daripada tes pada umumnya. Bilangan prima ini berbentuk 2^k − 1, yang dalam bentuk binernya berupa k digit angka 1.[1] Hingga Desember 2020^[update], delapan bilangan prima terbesar merupakan prima Mersenne.[2] Tujuh belas rekor prima terbesar terakhir berbentuk prima Mersenne.[3][4]

Implementasi transformasi Fourier cepat dari tes bilangan prima Lucas-Lehmer untuk bilangan Mersenne menghasilkan tes bilangan prima yang sangat cepat jika dibandingkan dengan tes bilangan prima lain yang dikenal untuk jenis-jenis bilangan yang lain. Dengan komputer saat ini, jutaan digit bilangan mirip-Mersenne dapat dibuktikan merupakan bilangan prima, namun hanya ribuan digit bilangan [jenis] lain yang dapat dibuktikan merupakan bilangan prima.

Rekor saat ini

Rekor saat ini adalah bilangan 2^82,589,933 − 1 dengan 24.862.048 digit, ditemukan oleh GIMPS pada Desember 2018.[5] Nilai 120 digit pertama dan digit terakhir bilangan ini adalah:

148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...

(24.861.808 digit diabaikan)

... 062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591[6]

Hadiah

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) saat ini menawarkan US$3.000 untuk peserta yang mengunduh dan menjalankan program gratis mereka dan menemukan bilangan prima yang memiliki kurang dari 100 juta digit.

Terdapat beberapa hadiah yang ditawarkan oleh Electronic Frontier Foundation untuk rekor bilangan prima.[7] GIMPS juga mengkoordinasikan usaha mereka mencari bilangan prima dengan 100 juga digit atau lebih besar, dan akan membagi (split) US$150.000 bersama Electronic Frontier Foundation kepada peserta yang memenangkan rekor. Rekor prima dengan satu juta digit terpecahkan pada tahun 1999, dengan hadiah US$50.000.[8] Pada tahun 2008, rekor melampaui sepuluh juta digit, dengan hadiah US$100.000 dan Cooperative Computing Award dari Electronic Frontier Foundation.[7] Majalah Time menyebutnya sebagai penemuan ke-29 terbaik pada tahun 2008.[9] Kedua hadiah US$50.000 dan US$100.000 dimenangkan oleh peserta GIMPS. Hadiah tambahan ditawarkan untuk bilangan prima terbesar yang ditemukan, yang memiliki setidaknya seratus juta digit dan yang memiliki setidaknya satu miliar digit.[7]

Sejarah

Cap pos peringatan (commemorative) yang digunakan Departemen Matematika UIUC setelah membuktikan M₁₁₂₁₃ merupakan bilangan prima.

Tabel berikut menyajikan perkembangan bilangan prima terbesar yang diketahui, disusun menaik.[3] Disini, M_p = 2^p − 1 adalah bilangan Mersenne dengan eksponen p. Rekor terlama adalah M₁₉ = 524,287, bilangan prima terbesar yang diketahui selama 144 tahun. Tidak ada rekor yang diketahui sebelum tahun 1456.

Bilangan	Ekspansi desimal (hanya untuk bilangan < M1000)	Banyak digit	Tahun ditemukan	Penemu
M13	8,191	4	1456	Tanpa nama
M17	131,071	6	1588	Pietro Cataldi
M19	524,287	6	1588	Pietro Cataldi
${\displaystyle {\tfrac {2^{32}+1}{641}}}$	6,700,417	7	1732	Leonhard Euler(?) Euler tidak menerbitkan secara eksplisit keprimaan 6,700,417, tapi teknik yang ia gunakan untuk memfaktorkan 2^32 + 1 mengartikan dia telah mengerjakan sebagian besar bukti yang diperlukan, dan beberapa ahli percaya ia mengetahui keprimaan bilangan ini.[10]
M31	2,147,483,647	10	1772	Leonhard Euler
${\displaystyle {\tfrac {10^{18}+1}{1000001}}}$	999,999,000,001	12	1851	Disertakan (tapi dibubuhi tanda tanya) dalam suatu daftar bilangan prima yang dibuat Looff. Karena ketidakyakinannya, beberapa tidak mengikutkan bilangan ini sebagai rekor.
${\displaystyle {\tfrac {2^{64}+1}{274177}}}$	67,280,421,310,721	14	1855	Thomas Clausen (tapi tanpa disertai buki).
M127	170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727	39	1876	Édouard Lucas
${\displaystyle {\tfrac {2^{148}+1}{17}}}$	20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921	44	1951	Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanik; rekor terbesar yang tidak dipecahkan dengan menggunakan komputer.
180×(M127)^2+1	5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221	79	1951	J. C. P. Miller dan D. J. Wheeler[11] menggunakan komputer EDSAC Cambridge
M521	6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151	157	1952
M607	531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127	183	1952
M1279	104079321946...703168729087	386	1952
M2203	147597991521...686697771007	664	1952
M2281	446087557183...418132836351	687	1952
M3217	259117086013...362909315071	969	1957
M4423	285542542228...902608580607	1,332	1961
M9689	478220278805...826225754111	2,917	1963
M9941	346088282490...883789463551	2,993	1963
M11213	281411201369...087696392191	3,376	1963
M19937	431542479738...030968041471	6,002	1971	Bryant Tuckerman
M21701	448679166119...353511882751	6,533	1978	Laura A. Nickel dan Landon Curt Noll[12]
M23209	402874115778...523779264511	6,987	1979	Landon Curt Noll[12]
M44497	854509824303...961011228671	13,395	1979	David Slowinski dan Harry L. Nelson[12]
M86243	536927995502...709433438207	25,962	1982	David Slowinski[12]
M132049	512740276269...455730061311	39,751	1983	David Slowinski[12]
M216091	746093103064...103815528447	65,050	1985	David Slowinski[12]
${\displaystyle 391581\times 2^{216193}-1}$	148140632376...836387377151	65,087	1989	Sebuah grup bernama "Amdahl Six": John Brown, Landon Curt Noll, B. K. Parady, Gene Ward Smith, Joel F. Smith, Sergio E. Zarantonello.[13][14] Ini adalah bilangan prima bukan-Mersenne terbesar yang diketahui ketika ditemukan.
M756839	174135906820...328544677887	227,832	1992	David Slowinski dan Paul Gage[12]
M859433	129498125604...243500142591	258,716	1994	David Slowinski dan Paul Gage[12]
M1257787	412245773621...976089366527	378,632	1996	David Slowinski dan Paul Gage[12]
M1398269	814717564412...868451315711	420,921	1996	GIMPS, Joel Armengaud
M2976221	623340076248...743729201151	895,932	1997	GIMPS, Gordon Spence
M3021377	127411683030...973024694271	909,526	1998	GIMPS, Roland Clarkson
M6972593	437075744127...142924193791	2,098,960	1999	GIMPS, Nayan Hajratwala
M13466917	924947738006...470256259071	4,053,946	2001	GIMPS, Michael Cameron
M20996011	125976895450...762855682047	6,320,430	2003	GIMPS, Michael Shafer
M24036583	299410429404...882733969407	7,235,733	2004	GIMPS, Josh Findley
M25964951	122164630061...280577077247	7,816,230	2005	GIMPS, Martin Nowak
M30402457	315416475618...411652943871	9,152,052	2005	GIMPS, Curtis Cooper dan Steven Boone
M32582657	124575026015...154053967871	9,808,358	2006	GIMPS, Curtis Cooper dan Steven Boone
M43112609	316470269330...166697152511	12,978,189	2008	GIMPS, Edson Smith
M57885161	581887266232...071724285951	17,425,170	2013	GIMPS, Curtis Cooper
M74207281	300376418084...391086436351	22,338,618	2016	GIMPS, Curtis Cooper
M77232917	467333183359...069762179071	23,249,425	2017	GIMPS, Jonathan Pace
M82589933	148894445742...325217902591	24,862,048	2018	GIMPS, Patrick Laroche

GIMPS mendapati lima belas rekor terakhir (semuanya berupa bilangan Mersenne) ditemukan dengan komputer biasa yang dioperasikan oleh peserta-peserta di seluruh dunia.

Dua puluh bilangan prima terbesar

Sebuah daftar 5.000 bilangan prima terbesar diurus oleh by Chris K. Caldwell;[15][16] dua puluh bilangan terbesarnya disajikan pada tabel berikut.

Peringkat	Bilangan	Tanggal penemua	Banyak digit	Jenis bilangan	Referensi
1	2^82589933 − 1	2018-12-07	24,862,048	Mersenne	[5]
2	2^77232917 − 1	2017-12-26	23,249,425	Mersenne	[17]
3	2^74207281 − 1	2016-01-07	22,338,618	Mersenne	[18]
4	2^57885161 − 1	2013-01-25	17,425,170	Mersenne	[19]
5	2^43112609 − 1	2008-08-23	12,978,189	Mersenne	[20]
6	2^42643801 − 1	2009-06-04	12,837,064	Mersenne	[21]
7	2^37156667 − 1	2008-09-06	11,185,272	Mersenne	[20]
8	2^32582657 − 1	2006-09-04	9,808,358	Mersenne	[22]
9	10223 × 2^31172165 + 1	2016-10-31	9,383,761	Proth	[23]
10	2^30402457 − 1	2005-12-15	9,152,052	Mersenne	[24]
11	2^25964951 − 1	2005-02-18	7,816,230	Mersenne	[25]
12	2^24036583 − 1	2004-05-15	7,235,733	Mersenne	[26]
13	202705 × 2^21320516 + 1	2021-12-01	6,418,121	Proth
14	2^20996011 − 1	2003-11-17	6,320,430	Mersenne	[27]
15	1059094^1048576 + 1	2018-10-31	6,317,602	Fermat yang diperumum	[28]
16	919444^1048576 + 1	2017-08-29	6,253,210	Fermat yang diperumum	[29]
17	168451 × 2^19375200 + 1	2017-09-17	5,832,522	Proth	[30]
18	69 × 2^18831865 − 1	2021-12-16	5,668,959
19	7 × 2^18233956 + 1	2020-10-01	5,488,969	Proth	[31]
20	3  ×  2^17748034 − 1	2021-09-06	5,342,692	321	[32]

Referensi

1. "Perfect Numbers". Penn State University. Diakses tanggal 6 October 2019. An interesting side note is about the binary representations of those numbers... 
2. Caldwell, Chris. "The largest known primes – Database Search Output". Prime Pages. Diakses tanggal June 3, 2018. 
3. Caldwell, Chris. "The Largest Known Prime by Year: A Brief History". Prime Pages. Diakses tanggal January 20, 2016. 
4. The last non-Mersenne to be the largest known prime, was 391,581 ⋅ 2^216,193 − 1; see also The Largest Known Prime by year: A Brief History by Caldwell.
5. "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1". Mersenne Research, Inc. 21 December 2018. Diakses tanggal 21 December 2018.  Kesalahan pengutipan: Tanda <ref> tidak sah; nama "GIMPS-2018" didefinisikan berulang dengan isi berbeda
6. "51st Known Mersenne Prime Discovered". 
7. "Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize". Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation. October 14, 2009. Diakses tanggal November 26, 2011. 
8. Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize.
9. "Best Inventions of 2008 - 29. The 46th Mersenne Prime". Time. Time Inc. October 29, 2008. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 2, 2008. Diakses tanggal January 17, 2012.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
10. Edward Sandifer, C. (19 November 2014). How Euler Did Even More. ISBN 9780883855843. 
11. J. Miller, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
12. Landon Curt Noll, Large Prime Number Found by SGI/Cray Supercomputer.
13. Letters to the Editor. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed May 22, 2020.
14. Proof-code: Z, The Prime Pages.
15. "The Prime Database: The List of Largest Known Primes Home Page". primes.utm.edu/primes. Chris K. Caldwell. Diakses tanggal 30 September 2017. 
16. "The Top Twenty: Largest Known Primes". Chris K. Caldwell. Diakses tanggal 3 January 2018. 
17. "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^77,232,917-1". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. Diakses tanggal 3 January 2018. 
18. "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^74,207,281-1". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. Diakses tanggal 29 September 2017. 
19. "GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2^57,885,161-1 is now the Largest Known Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 5 February 2013. Diakses tanggal 29 September 2017. 
20. "GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 2^43,112,609-1 is now the Largest Known Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 15 September 2008. Diakses tanggal 29 September 2017. 
21. "GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime, 2^42,643,801-1 is newest, but not the largest, known Mersenne Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 12 April 2009. Diakses tanggal 29 September 2017. 
22. "GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 2^32,582,657-1 is now the Largest Known Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 11 September 2006. Diakses tanggal 29 September 2017. 
23. "PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject" (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. Diakses tanggal 30 September 2017. 
24. "GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 2^30,402,457-1 is now the Largest Known Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 24 December 2005. Diakses tanggal 29 September 2017. 
25. "GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 2^25,964,951-1 is now the Largest Known Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 27 February 2005. Diakses tanggal 29 September 2017. 
26. "GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 2^24,036,583-1 is now the Largest Known Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 28 May 2004. Diakses tanggal 29 September 2017. 
27. "GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 2^20,996,011-1 is now the Largest Known Prime". mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. 2 December 2003. Diakses tanggal 29 September 2017. 
28. "PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search" (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. Diakses tanggal 7 November 2018. 
29. "PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search" (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. Diakses tanggal 30 September 2017. 
30. "PrimeGrid's Prime Sierpinski Problem" (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. Diakses tanggal 29 September 2017. 
31. "PrimePage Primes: 7 x 2^18233956 + 1". Diakses tanggal 10 February 2021. 
32. "The Prime Database: 3*2^17748034-1". primes.utm.edu. The Prime Pages. Diakses tanggal 13 September 2021. 

Pranala luar

• Siaran press tentang bilangan prima 2^82,589,933−1 terbesar yang ditemukan
• Siaran press tentang bilangan prima 2^77,232,917−1 terbesar yang ditemukan
• Siaran press tentang bilangan prima 2^74,207,281−1 terbesar yang ditemukan