Volume de uma n-bola

 Nota: Se procura uma hipersuperfície do espaço euclideano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\ }$, veja N-esfera.

Na geometria, uma bola é uma região no espaço que consiste de todos os pontos dentro de uma distância fixa a partir de um ponto fixo. Uma n-bola é uma bola em espaço euclidiano n-dimensional. O volume de uma n-bola é uma constante importante que ocorre em fórmulas na matemática[1][2] [3].

Definição

Uma bola n-dimensional (ou n-bola) é a região delimitada por uma esfera-${\displaystyle (n-1)}$: o conjunto de pontos em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ }$ satisfazendo ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq R^{2}}$[4]. É possível definir "volume" em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ -- em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o comprimento, em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ é a área, em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ é o volume normal e em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é o hipervolume[5].

Tabela de volumes e raios

Os volumes e raios da n-bola nas primeiras 15 dimensões são dadas na tabela a seguir.

Dimensão	Volume de uma n-bola de raio R	Raio de uma n-bola de volume V
0	${\displaystyle 1}$	(all 0-balls have volume 1)
1	${\displaystyle 2R}$	${\displaystyle {\frac {V}{2}}=0.5\times V}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}\approx 3.142\times R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.564\times V^{\frac {1}{2}}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}\approx 4.189\times R^{3}}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.620\times V^{\frac {1}{3}}}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}\approx 4.935\times R^{4}}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{\frac {1}{4}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.671\times V^{\frac {1}{4}}}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}\approx 5.264\times R^{5}}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{\frac {1}{5}}\approx 0.717\times V^{\frac {1}{5}}}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}\approx 5.168\times R^{6}}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{\frac {1}{6}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.761\times V^{\frac {1}{6}}}$
7	${\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}\approx 4.725\times R^{7}}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{\frac {1}{7}}\approx 0.801\times V^{\frac {1}{7}}}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}\approx 4.059\times R^{8}}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{\frac {1}{8}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.839\times V^{\frac {1}{8}}}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}\approx 3.299\times R^{9}}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{\frac {1}{9}}\approx 0.876\times V^{\frac {1}{9}}}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}\approx 2.550\times R^{10}}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{\frac {1}{10}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.911\times V^{\frac {1}{10}}}$
11	${\displaystyle {\frac {64\pi ^{5}}{10395}}R^{11}\approx 1.884\times R^{11}}$	${\displaystyle \left({\frac {10395V}{64\pi ^{5}}}\right)^{\frac {1}{11}}\approx 0.944\times V^{\frac {1}{11}}}$
12	${\displaystyle {\frac {\pi ^{6}}{720}}R^{12}\approx 1.335\times R^{12}}$	${\displaystyle {\frac {(720V)^{\frac {1}{12}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.976\times V^{\frac {1}{12}}}$
13	${\displaystyle {\frac {128\pi ^{6}}{135135}}R^{13}\approx 0.911\times R^{13}}$	${\displaystyle \left({\frac {135135V}{128\pi ^{6}}}\right)^{\frac {1}{13}}\approx 1.007\times V^{\frac {1}{13}}}$
14	${\displaystyle {\frac {\pi ^{7}}{5040}}R^{14}\approx 0.599\times R^{14}}$	${\displaystyle {\frac {(5040V)^{\frac {1}{14}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.037\times V^{\frac {1}{14}}}$
15	${\displaystyle {\frac {256\pi ^{7}}{2027025}}R^{15}\approx 0.381\times R^{15}}$	${\displaystyle \left({\frac {2027025V}{256\pi ^{7}}}\right)^{\frac {1}{15}}\approx 1.066\times V^{\frac {1}{15}}}$
n	Vn(R)	Rn(V)

Referências

1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.
2. Dirichlet, "Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4 (1839), 164–168
3. Wang, Xianfu, "Volumes of Generalized Unit Balls", Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 5 (Dezembro 2005), 390–395.
4. Volumes of n-dimensional balls Dave Richeson| (2010)
5. The Volume of n-balls por Jake Gipple publicado no "Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal"Volume 15, No. 1, (2014)

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