Teste M de Weierstrass

Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.

O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.

Notação e enunciado

Sejam ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ uma seqüência de funções reais ou complexas definidas em um conjunto ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle M_{n}}$ uma seqüência de reais não-negativos, tais que:

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$ para todo ${\displaystyle n>1\,}$ e todo ${\displaystyle x\in A\,}$.
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}<\infty }$

Então:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ converge uniformemente em ${\displaystyle A\,}$

Demonstração

O teste da comparação garante que a série numérica:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ converge para cada ${\displaystyle x\in A\,}$

Seja ${\displaystyle f\,}$ o limite pontual de ${\displaystyle f_{n}\,}$ Para mostrar que a convergência é uniforme, fixe um ${\displaystyle \epsilon >0\,}$. Da convegência da série formada pelos ${\displaystyle M_{n}\,}$, temos que existe um ${\displaystyle N\,}$ tal que:

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\epsilon }$

Então estimamos pelo teste da comparação, mais uma vez.

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f_{n}(x)\leq \sum _{n=N}^{\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\epsilon }$

E o resultado segue, pois ${\displaystyle N\,}$ não foi escolhido com base em ${\displaystyle x\,}$.

Generalização

A versão mais geral envolvendo funções cuja imagem está num espaço de Banach é análoga substituindo módulos por normas.

• ${\displaystyle ||f_{n}||\leq M_{n}}$.

Ver também

• Convergência uniforme
• Convergência pontual
• Séries de Taylor
• Raio de convergência