Prova matemática de que o número de euler (e) é irracional
O número e foi introduzido por Jacob Bernoulli em 1683. Após mais de um século, Euler, que fora um estudante de Johann, irmão mais novo de Jacob Johann, provou que e é irracional; isto significa que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros.
Prova de Euler
Euler escreveu sua primeira prova do fato de que e é irracional em 1737 (mas o texto foi publicado apenas sete anos depois).[1][2][3] Ele computou a representação de e como uma fração contínua simples, que é
Como esta fração contínua é infinita e todo número racional tem uma fração contínua finita, e é irracional. Existe uma prova breve da igualdade anterior conhecida.[4][5] Já que a fração contínua simples de e não é periódica, isso também prova que e não é uma raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais; em particular, e2 é irracional.
Prova de Fourier
A prova mais conhecida é a prova por contradição de Joseph Fourier,[6] que se baseia na igualdade
Inicialmente, assume-se que e é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma ab. A ideia é analisar a diferença ampliada (aqui denotada como x) entre a representação em série de e e sua b-ésima soma parcial estritamente menor, que aproxima o valor limite de e. Escolhendo o fator de escala como o fatorial de b, a fração ab e a soma parcial b tornam-se números inteiros, portanto x deve ser um número inteiro positivo. No entanto, a rápida convergência da representação em série implica que x ainda é estritamente menor que 1. A partir dessa contradição, deduzimos que e é irracional.
Agora para os detalhes, se e é um número racional, existem números naturais a e b tal que e = ab. Definimos o número
Usando suposição de que e = ab, obtemos
O primeiro termo é um número inteiro, e cada fração na soma é, na verdade, um número inteiro porque n ≤ b para cada termo. Portanto, sob a suposição de que e é racional, x é um número inteiro.
Agora, provamos que 0 < x < 1. Primeiro, para provar que x é estritamente positivo, inserimos a representação em série de e na definição de x e obtemos
pois todos os termos são estritamente positivos.
Agora podemos provar que x < 1. Para todos os termos com n ≥ b + 1 temos a estimativa superior
Essa desigualdade é estrita para todo n ≥ b + 2. Ao alterar o índice de soma para k = n – b e usar a fórmula para a série geométrica infinita, obtemos
E, portanto, x < 1.
Como não há nenhum número inteiro estritamente entre 0 e 1, chegamos a uma contradição. Portanto, e é irracional, C.Q.D.
Ver também
Referências