Funkcja q-wykładnicza

Funkcja ${\displaystyle q}$-wykładnicza – ${\displaystyle q}$-analog funkcji wykładniczej.

Funkcję ${\displaystyle q}$-wykładniczą lub ${\displaystyle q}$-eksponentę ${\displaystyle e_{q}(z)}$ definiuje się jako

${\displaystyle e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\dots (1-q)}},}$

gdzie ${\displaystyle [n]_{q}!}$ oznacza ${\displaystyle q}$-silnię, a

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\dots (1-q)}$

to symbol ${\displaystyle q}$-Pochhammera. To, że jest to ${\displaystyle q}$-analog funkcji wykładniczej wynika z własności

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z),}$

gdzie pochodna po lewej oznacza ${\displaystyle q}$-pochodną. Powyższą własność łatwo sprawdzić rozważając ${\displaystyle q}$-pochodną jednomianu:

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.}$

Symbol ${\displaystyle [n]_{q}}$ oznacza ${\displaystyle q}$-nawias.

Dla rzeczywistych ${\displaystyle q>1}$ funkcja ${\displaystyle e_{q}(z)}$ jest funkcją całkowitą zmiennej ${\displaystyle z.}$ Dla ${\displaystyle q<1}$ funkcja ${\displaystyle e_{q}(z)}$ jest regularna w kuli ${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{1-q}}.}$

Dla ${\displaystyle q<1}$ w bliskim związku z funkcją ${\displaystyle q}$-wykładniczą jest funkcja ${\displaystyle E_{q}(t)}$ niespełniająca tożsamości

${\displaystyle e_{q}(z)=E_{q}(z(1-q)).}$

Funkcja ta jest przypadkiem szczególnym podstawowego szeregu hipergeometrycznego:

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{0}(0;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}z}}.}$