サバテサイクル

サバテサイクル(Sabathe cycle)は、中・高速の圧縮着火機関（ディーゼルエンジン・焼玉エンジン）の理論サイクル(空気標準サイクル)であり、 複合サイクルとよばれることもある [1] [2]。 実際のディーゼルエンジンでは燃料噴射後、着火するまでに着火遅れがあり、 この間に噴射された燃料はシリンダー内に燃料・空気の混合気を形成する。 これに着火すると短期間で燃焼し(予混合燃焼)、等積に近い燃焼となり、 低速機関でない限り、これを無視することはできない。 その後、続いて噴射される燃料が空気と混合しつつ順次燃焼し(拡散燃焼)、 等圧に近い燃焼となる。 この等積燃焼と等圧燃焼の双方を考慮したものが、サバテサイクルである。

サイクル

サバテサイクルは、圧縮着火機関の実際のサイクルを、 下表 1 のような比熱一定の理想気体(空気)の可逆なクローズドサイクル (空気標準サイクル)で置き換えたものと考えることができる [1] [2]。

表 1 サイクルの置き換え

	実機関の状態変化	置換後の状態変化	備考
1 → 2	空気の圧縮	断熱(等エントロピー)圧縮
2 → 3	予混合燃焼	等積加熱	この間のピストン移動を無視
3 → 4	拡散燃焼	等圧加熱膨張	噴射の間もピストンは移動
4 → 5	噴射締切・燃焼ガスの膨張	断熱(等エントロピー)膨張
5 → 1	排気・吸気(または掃気)	等積冷却	この間のピストン移動を無視

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  図 1. サバテサイクルの p-V 線図
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  図 2. サバテサイクルの T-S 線図

サバテサイクルのp-V 線図および T-S 線図を図 1、2 に示す。 また、吸気状態を V₁、p₁、T₁、S₁ としたときの、 サイクル上の各点の状態量を下表 2 に示す。

表 2 サイクル各点の状態量

	体積	圧力	絶対温度	エントロピー
1	${\displaystyle V_{1}}$	${\displaystyle p_{1}}$	${\displaystyle T_{1}}$	${\displaystyle S_{1}}$
1→2		${\displaystyle p=p_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\kappa }}$	${\displaystyle T=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\kappa -1}}$	${\displaystyle S=S_{1}}$
2	${\displaystyle V_{2}=V_{1}/\epsilon }$	${\displaystyle p_{2}=p_{1}\epsilon ^{\kappa }}$	${\displaystyle T_{2}=T_{1}\epsilon ^{\kappa -1}}$	${\displaystyle S_{2}=S_{1}}$
2→3	${\displaystyle V=V_{2}}$		${\displaystyle T=T_{2}{\frac {p}{p_{2}}}}$	${\displaystyle S=S_{2}+mc_{v}\ln {\frac {T}{T_{2}}}}$
3	${\displaystyle V_{3}=V_{1}/\epsilon }$	${\displaystyle p_{3}=p_{1}\alpha \epsilon ^{\kappa }}$	${\displaystyle T_{3}=T_{1}\alpha \epsilon ^{\kappa -1}}$	${\displaystyle S_{3}=S_{1}+mc_{v}\ln \alpha }$
3→4		${\displaystyle p=p_{3}}$	${\displaystyle T=T_{3}{\frac {V}{V_{3}}}}$	${\displaystyle S=S_{3}+mc_{p}\ln {\frac {T}{T_{3}}}}$
4	${\displaystyle V_{4}=V_{1}\sigma /\epsilon }$	${\displaystyle p_{4}=p_{1}\alpha \epsilon ^{\kappa }}$	${\displaystyle T_{4}=T_{1}\alpha \sigma \epsilon ^{\kappa -1}}$	${\displaystyle S_{4}=S_{1}+mc_{v}\ln \alpha +mc_{p}\ln \sigma }$
4→5		${\displaystyle p=p_{4}\left({\frac {V_{4}}{V}}\right)^{\kappa }}$	${\displaystyle T=T_{4}\left({\frac {V_{4}}{V}}\right)^{\kappa -1}}$	${\displaystyle S=S_{4}}$
5	${\displaystyle V_{5}=V_{1}}$	${\displaystyle p_{5}=p_{1}\alpha \sigma ^{\kappa }}$	${\displaystyle T_{5}=T_{1}\alpha \sigma ^{\kappa }}$	${\displaystyle S_{5}=S_{1}+mc_{v}\ln \alpha +mc_{p}\ln \sigma }$
5→1	${\displaystyle V=V_{5}}$		${\displaystyle T=T_{5}{\frac {p}{p_{5}}}}$	${\displaystyle S=S_{5}+mc_{v}\ln {\frac {T}{T_{5}}}}$
${\displaystyle \epsilon ={\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$：圧縮比、   ${\displaystyle \alpha ={\frac {p_{3}}{p_{2}}}}$：圧力(上昇)比、   ${\displaystyle \sigma ={\frac {V_{4}}{V_{2}}}}$：噴射締切比、 ${\displaystyle \kappa ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}=1.40}$ ：比熱比、   ${\displaystyle m}$：質量、   ${\displaystyle c_{p}}$：定圧比熱、   ${\displaystyle c_{v}}$：定積比熱

熱量、仕事、熱効率

上で求めた各点の状態量を用いて、1 サイクルあたりの加熱量、冷却量、仕事、 および熱効率、平均有効圧力は下記のように求まる。

• シリンダー内空気質量： ${\displaystyle m={\frac {P_{1}V_{1}}{RT_{1}}},\quad R=c_{p}-c_{v}=287.2{~{\rm {J/(kgK)}}}}$
• 加熱量：${\displaystyle Q_{1}=mc_{v}(T_{3}-T_{2})+mc_{p}(T_{4}-T_{3})=mc_{v}T_{1}[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]\epsilon ^{\kappa -1}}$
• 冷却量：${\displaystyle Q_{2}=mc_{v}(T_{5}-T_{1})=mc_{v}T_{1}(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)}$
• 仕事：${\displaystyle W=Q_{1}-Q_{2}=mc_{v}T_{1}\{[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]\epsilon ^{\kappa -1}-(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)\}}$
• 熱効率：${\displaystyle \eta =1-{\frac {Q_{2}}{Q_{1}}}=1-{\frac {1}{\epsilon ^{\kappa -1}}}{\frac {(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)}{[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]}}}$
• 平均有効圧力：${\displaystyle p_{m}={\frac {W}{V_{1}-V_{2}}}=p_{1}{\frac {[\alpha -1+\kappa \alpha (\sigma -1)]\epsilon ^{\kappa }-(\alpha \sigma ^{\kappa }-1)\epsilon }{(\kappa -1)(\epsilon -1)}}}$

この結果より、以下のことがわかる。

1. 圧縮比 ε を大きく(高く)すれば熱効率が大きく向上する。
2. このサイクルは、噴射締切比 σ が小さくなれば (1 に近づけば) オットーサイクルに近づき、圧力比 α が小さくなれば (1 に近づけば) ディーゼルサイクルに近づく。
3. オットーサイクル(σ=1)とディーゼルサイクル(α=1)を比較すると、圧縮比 ε が等しければ、オットーサイクルの方が熱効率が良いが、最高温度 T₄ が等しければ、（図 2 で点 3 が左方へ移動する方が平均加熱温度が高くなるので、)ディーゼルサイクルの方が熱効率が良い。実際はディーゼルエンジンの方が圧縮比が格段に高く、最高温度も高いので、理論サイクルの面でもディーゼルエンジンの方が熱効率が良い。

参考文献

1. ^ 柘植盛男、『機械熱力学』、朝倉書店(1967)
2. ^ 谷下市松、『工学基礎熱力学』、裳華房(1971)、ISBN 4-7853-6008-9.

関連項目

• オットーサイクル
• ディーゼルサイクル
• ディーゼルエンジン
• 圧縮着火内燃機関
• 内燃機関
• 熱力学サイクル