In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.
Successione numerica
Una successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:
![{\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d5004274e77342d74766410a004c039447cfb6)
Si dice che una successione complessa ha limite
se per ogni
esiste
, con
, tale per cui:
![{\displaystyle |z_{n}-z|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3be191059b74733339b0e13481b3f59e5c9df7)
quando
. Si scrive:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca68c8e52187a056ca21438736924a06f99b4717)
Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti
si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro
e raggio
.
Supposto che i termini della successione siano
e il limite sia
, allora si ha:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca68c8e52187a056ca21438736924a06f99b4717)
se e solo se:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\qquad \lim _{n\to \infty }y_{n}=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3237c3a03a8222755832db19e803ef7ebe2e412e)
cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.
Infatti, quando
e quando
le due successioni reali soddisfano rispettivamente:
![{\displaystyle |x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad |y_{n}-y|<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1148d23adc6d82654785e33aea25cfadbdcf58e1)
ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici
affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:
![{\displaystyle |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|\leq |x_{n}-x|+|y_{n}-y|=|z_{n}-z|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6483b38c5648a1849eb5fcd778c953de126ae792)
quando
. Viceversa, se per
si ha:
![{\displaystyle |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdcabeebf1d4b2b671eb0a68ef4f29dc7ce422b)
allora si ha anche:
![{\displaystyle |x_{n}-x|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon \qquad |y_{n}-y|\leq |(x_{n}+i\cdot y_{n})-(x+i\cdot y)|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540beeaeaddadd1f0c48ce9ad610101c6c63b32f)
Successioni di funzioni
Sia
una successione di funzioni complesse su un dominio
del piano complesso. Si dice che
converge puntualmente alla funzione
in
se:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)=f(z)\qquad \forall z\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e6f6e314bd3efc721b9fca3dd738b0d1f3906f)
Si dice che converge uniformemente alla funzione
in
se:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{E}\mid f_{n}(z)-f(z)\mid =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93316051da70ba500ac2e3fa86d54783ef6a4d8)
Si vede facilmente che se si verifica:
![{\displaystyle f_{n}(z)=u_{n}(x,y)+i\cdot v_{n}(x,y)\qquad f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38915dc029f418b64810c3c800b79239097bd47f)
allora
rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se
e
rispettivamente puntualmente e uniformemente .
Criterio di Cauchy
Il criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che
se e solo se esiste un numero
tale che:
![{\displaystyle f_{n}(z)\leq M\qquad \forall z\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d7c1eabace07bee24e7ca0c5840bd6021a3840)
e tale che per ogni
esiste un indice
tale per cui:
![{\displaystyle \sup _{E}\mid f_{n}(z)-f_{m}(z)\mid \leq \varepsilon \qquad \forall n,m\geq n_{\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04883d486a2bd25d8f9917064fbfc8fee18447b)
Bibliografia
- (EN) John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag, 1986
- (EN) Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987
- (EN) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer Verlag, 1991
Voci correlate
Collegamenti esterni