Funzione definita a tratti

In matematica una funzione definita a tratti (o semplicemente funzione a tratti) è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti.[1][2] Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.

Notazione

Una funzione definita a tratti tipica è la funzione valore assoluto. La notazione standard è la seguente:[2]

${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{se }}x<0,\\x,&{\text{se }}x\geq 0.\end{cases}}}$

La funzione è definita dalle sottofunzioni ${\displaystyle -x}$ e ${\displaystyle x}$, valide rispettivamente negli intervalli ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ e ${\displaystyle [0,\infty )}$.

Continuità

Una funzione a tratti composta da funzioni quadratiche diverse ai due lati del punto ${\displaystyle x_{0}}$

Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:

• la funzione è definita su tutto l'intervallo;
• le sottofunzioni sono continue nei sottodomini;
• non ci sono discontinuità nella frontiera di ciascun sottodominio.

La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli ${\displaystyle (-\infty ,x_{0})}$ e ${\displaystyle [x_{0},+\infty )}$ in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di discontinuità a salto: il punto ${\displaystyle x_{0}}$.

Esempi

Le seguenti funzioni sono definite a tratti:

• funzioni a gradino, funzioni definite da sottofunzioni costanti;
  • funzione gradino di Heaviside;
  • funzione segno;
• funzioni lineari a tratti, definite da sottofunzioni lineari;
  • valore assoluto;
• funzione spline, funzione costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti, in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.

Note

1. Manuela Pucci, Funzioni definite a tratti (PDF), su cupparisalvati.edu.it. URL consultato il 18 novembre 2022 (archiviato dall'url originale il 18 novembre 2022).
2. (EN) Eric W. Weisstein, Funzione definita a tratti, in MathWorld, Wolfram Research.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione definita a tratti, su MathWorld, Wolfram Research.