Diagramme de Schlegel du 120-cellules rectifié .Un 4-polytope uniforme est, en géométrie , un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes . Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.
Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques , il existe 64 4-polytopes uniformes convexes :
4-polytopes non-prismatiques :
9 de groupe de Coxeter A4 ;
9 de groupe de Coxeter F4 ;
15 de groupe de Coxeter B4 (dont 3 sont également compris dans la famille précédente) ;
15 de groupe de Coxeter H4 ;
1 forme adoucie spéciale dans le groupe F4 ;
1 4-polytope spécial, le grand antiprisme ;
Prismes polyédriques :
Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis :
A4
Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est A4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).
Polytope
Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules
Faces
Segments
Sommets
5-cellules {3,3,3}
5
10
10
5
5-cellules rectifié t1 {3,3,3}
10
30
30
10
5-cellules tronqué t0,1 {3,3,3}
10
30
40
20
5-cellules biseauté t0,2 {3,3,3}
20
80
90
30
5-cellules augmenté t0,3 {3,3,3}
30
70
60
20
5-cellules bitronqué t1,2 {3,3,3}
10
40
60
30
5-cellules biseauté-tronqué t0,1,2 {3,3,3}
20
80
120
60
5-cellules augmenté-tronqué t0,1,3 {3,3,3}
30
120
150
60
5-cellules omnitronqué t0,1,2,3 {3,3,3}
30
150
240
120
Troncatures du pentachore
Pentachore
Pentachore tronqué
Pentachore rectifié
Pentachore biseauté
Pentachore bitronqué
Pentachore biseauté-tronqué
Pentachore augmenté
Pentachore augmenté-tronqué
Pentachore omnitronqué
Symbole de Schläfli
{3,3,3}
t{3,3,3}
r{3,3,3}
rr{3,3,3}
2t{3,3,3}
tr{3,3,3}
t0,3 {3,3,3}
t0,1,3 {3,3,3}0,2,3 {3,3,3}
t0,1,2,3 {3,3,3}
Diagramme de Coxeter
Diagramme de Schlegel
Projection orthogonale par le plan de Coxeter A4
par le plan de Coxeter A3
par le plan de Coxeter A2
BC4
Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est BC4 sont au nombre de 15.
8-cellules
Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).
Polytope
Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules
Faces
Segments
Sommets
8-cellules {4,3,3}
8
24
32
16
8-cellules rectifié t1 {4,3,3}
24
88
96
32
8-cellules tronqué t0,1 {4,3,3}
24
88
128
64
8-cellules biseauté t0,2 {4,3,3}
56
248
288
96
8-cellules augmenté t0,3 {4,3,3}
80
208
192
64
8-cellules bitronqué t1,2 {4,3,3}
24
120
192
96
8-cellules biseauté-tronqué t0,1,2 {4,3,3}
56
248
384
192
8-cellules augmenté-tronqué t0,1,3 {4,3,3}
80
368
480
192
8-cellules omnitronqué t0,1,2,3 {4,3,3}
80
464
768
384
16-cellules
Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).
Polytope
Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules
Faces
Segments
Sommets
16-cellules {3,3,4}
16
32
24
8
16-cellules rectifié24-cellules )
t1 {3,3,4}
24
96
96
24
16-cellules tronqué t0,1 {3,3,4}
24
96
120
48
16-cellules biseauté t0,2 {3,3,4}
48
240
288
96
16-cellules augmenté8-cellules augmenté )
t0,3 {3,3,4}
80
208
192
64
16-cellules bitronqué8-cellules bitronqué )
t1,2 {3,3,4}
24
120
192
96
16-cellules biseauté-tronqué t0,1,2 {3,3,4}
48
240
384
192
16-cellules augmenté-tronqué t0,1,3 {3,3,4}
80
368
480
192
16-cellules omnitronqué8-cellules omnitronqué )
t0,1,2,3 {3,3,4}
80
464
768
384
F4
Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est F4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).
Polytope
Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules
Faces
Segments
Sommets
24-cellules {3,4,3}
24
96
96
24
24-cellules rectifié16-cellules biseauté )
t1 {3,4,3}
48
240
288
96
24-cellules tronqué16-cellules biseauté-tronqué )
t0,1 {3,4,3}
48
240
384
192
24-cellules biseauté t0,2 {3,4,3}
144
720
864
288
24-cellules augmenté t0,3 {3,4,3}
240
672
576
144
24-cellules bitronqué t1,2 {3,4,3}
48
336
576
288
24-cellules biseauté-tronqué t0,1,2 {3,4,3}
144
720
1 152
576
24-cellules augmenté-tronqué t0,1,3 {3,4,3}
240
1 104
1 440
576
24-cellules omnitronqué t0,1,2,3 {3,4,3}
240
1 392
2 304
1 152
24-cellules biseauté-tronqué alterné24-cellules adouci )
h0,1,2 {3,4,3}
144
480
432
96
H4
Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est H4 sont au nombre de 15.
120-cellules
Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).
Polytope
Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules
Faces
Segments
Sommets
120-cellules {5,3,3}
120
720
1 200
600
120-cellules rectifié t1 {5,3,3}
720
3 120
3 600
1 200
120-cellules tronqué t0,1 {5,3,3}
720
3 120
4 800
2 400
120-cellules biseauté t0,2 {5,3,3}
1 920
9 120
10 800
3 600
120-cellules augmenté t0,3 {5,3,3}
2 640
7 440
7 200
2 400
120-cellules bitronqué t1,2 {5,3,3}
720
4 320
7 200
3 600
120-cellules biseauté-tronqué t0,1,2 {5,3,3}
1 920
9 120
14 400
7 200
120-cellules augmenté-tronqué t0,1,3 {5,3,3}
2 640
13 440
18 000
7 200
120-cellules omnitronqué t0,1,2,3 {5,3,3}
2 640
17 040
28 800
14 400
600-cellules
Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).
Polytope
Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules
Faces
Segments
Sommets
600-cellules {3,3,5}
600
1 200
720
120
600-cellules rectifié t1 {3,3,5}
720
3 600
3 600
720
600-cellules tronqué t0,1 {3,3,5}
720
3 600
4 320
1 440
600-cellules biseauté t0,2 {3,3,5}
1 440
8 640
10 800
3 600
600-cellules augmenté120-cellules augmenté )
t0,3 {3,3,5}
2 640
7 440
7 200
2 400
600-cellules bitronqué120-cellules bitronqué )
t1,2 {3,3,5}
720
4 320
7 200
3 600
600-cellules biseauté-tronqué t0,1,2 {3,3,5}
1 440
8 640
14 400
7 200
600-cellules augmenté-tronqué t0,1,3 {3,3,5}
2 640
13 440
18 000
7 200
600-cellules omnitronqué120-cellules omnitronqué )
t0,1,2,3 {3,3,5}
2 640
17 040
28 800
14 400
D4
Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract . Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.
Polytope
Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules
Faces
Segments
Sommets
Demitesseract16-cellules )
{3,3,5}
16
32
24
8
Demitesseract rectifié16-cellules tronqué )
t1 {3,3,5}
48
240
288
96
Demitesseract tronqué8-cellules rectifié )
t0,1 {3,3,5}
24
96
120
48
Demitesseract biseauté8-cellules bitronqué )
t0,2 {3,3,5}
24
88
96
32
Demitesseract biseauté-tronqué24-cellules )
t0,1,2 {3,3,5}
24
96
96
24
Demitesseract augmenté-biseauté16-cellules biseauté )
t0,2,3 {3,3,5}
24
120
192
96
Demitesseract omnitronqué16-cellules biseauté-tronqué )
t0,1,2,3 {3,3,5}
48
240
384
192
Demitesseract adouci24-cellules adouci )
s{3,3,5}
144
480
432
96
Here again the snub 24-cell represents an alternated truncation of the truncated 24-cell, creating 96 new tetrahedra at the position of the deleted vertices. In contrast to its appearance within former groups as partly snubbed polychoron, only within this symmetry group it has the full analogy to the Kepler snubs, i.e. the snub cube and the snub dodecahedron .
Grand antiprisme
Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres .
Prismes
Annexes
Liens externes
Polychores uniformes
Polychores réguliers
Polychores réguliers convexes
non convexes : Polychores de Schläfli-Hess
Hécatonicosachore icosaédral Petit hécatonicosachore étoilé Hécatonicosachore 5,5/2,5 Hécatonicosachore 5,3,5/2 Hécatonicosachore 5/2,3,5 Hécatonicosachore 5/2,5,5/2 Hécatonicosachore 5,5/2,3 Hécatonicosachore 3,5/2,5 Hécatonicosachore 5/2,3,3 Grand hexacosichore
Autres polychores uniformes convexes
Non prismatiques
Basé sur le pentachore (5 cellules)
Basé sur le tesseract (8 cellules)
Basé sur l'hexadécachore (16 cellules)
Basé sur l'icositétrachore (24 cellules)
Basé sur l'hécatonicosachore (120 cellules)
Basé sur l'hexacosichore (600 cellules)
Non basé sur un polytope régulier
Grand antiprisme (en)
Prismatiques
