Starke Eigenschaft T

In der Mathematik ist die starke Eigenschaft T eine die Eigenschaft T verschärfende Eigenschaft von Gruppen, die als Obstruktion in Lafforgues Ansatz zum Beweis der Baum-Connes-Vermutung auftrat und in Beweisen von Vermutungen aus dem Zimmer-Programm Anwendung findet.

Definition

Eine lokal kompakte Gruppe ${\displaystyle G}$ erfüllt die starke Eigenschaft T, wenn es positive Konstanten ${\displaystyle s,t,C}$ und eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle m_{n}}$ mit Träger in ${\displaystyle \left\{g\in G\colon l(g)\leq n\right\}}$ gibt, so dass für jede Darstellung ${\displaystyle \pi \colon G\to B(X)}$ in die beschränkten Operatoren auf einem Banach-Raum mit ${\displaystyle \Vert \pi (g)\Vert \leq Le^{sl(g)}}$ (für ein ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ und alle ${\displaystyle g\in G}$) es ein ${\displaystyle P\in B(X)}$ gibt mit

${\displaystyle \Vert \pi (m_{n})-P\Vert \leq CL^{2}e^{-tn}}$

und

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Vert \pi (\delta _{g}*m_{n}*\delta _{h})-\pi (m_{n})\Vert =0}$

für alle ${\displaystyle g,h\in G}$. Die letzte Bedingung bedeutet, dass ${\displaystyle P}$ eine Projektion auf einen ${\displaystyle \pi (G)}$-invarianten Unterraum parallel zu einem ${\displaystyle \pi (G)}$-invarianten Komplementärraum ist.

Beispiele

• Gitter in einfachen Lie-Gruppen oder einfachen algebraischen Gruppen vom Rang mindestens ${\displaystyle 2}$ haben die starke Eigenschaft T.
• Hyperbolische Gruppen haben nie die starke Eigenschaft T.

Anwendungen

Wenn eine Gruppe die starke Eigenschaft T hat, dann hat jede isometrische Wirkung auf einem Hilbert-Raum einen Fixpunkt.

Wenn eine Gruppe mit starker Eigenschaft T auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt und ${\displaystyle {\frac {1}{l(g)}}\sup _{x\in M}\Vert D_{x}g\Vert \to 0}$ gilt, dann handelt es sich um eine isometrische Wirkung.

Literatur

• Vincent Lafforgue: Un renforcement de la propriété (T). Duke Math. J. 143, No. 3, 559–602 (2008).
• Mikael de la Salle: Strong property (T) for higher rank lattices. Acta Math. 223, No. 1, 151–193 (2019).